Zahlbereich/Ideal/Norm/Multiplikativität/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ mit der eindeutigen Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann ist

${}N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1})^{r_{1}}\cdots N({\mathfrak {p}}_{k})^{r_{k}}\,.$

Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Zahlbereiche ist

${}R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

und somit ist

${}N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}})\cdots N({\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}})\,.$

Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz ${}{\mathfrak {p}}^{r}$ zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über ${}r$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen ${}{\mathfrak {p}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {p}}^{r}$ eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Dabei ist

${}{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}={\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r+1}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=R/{\mathfrak {p}}\,.$

Deshalb ist

${}{\begin{aligned}N({\mathfrak {p}}^{r+1})&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\\&={\#\left({\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&=N({\mathfrak {p}})\cdot N({\mathfrak {p}})^{r}\\&=N({\mathfrak {p}})^{r+1}.\end{aligned}}$

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Korollar

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\neq 0$ Ideale in ${}R$.

Dann ist

${}N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})\cdot N({\mathfrak {b}})\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$