Kreisteilungsring/Zerlegungsgruppe/Frobenius/Bemerkung

Nach Fakt in Verbindung mit Fakt und Fakt operiert die Galoisgruppe

${}\operatorname {Gal} \,(\mathbb {Q} {|}K_{n})\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,$

auf dem ${}n$-ten Kreisteilungsring

${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})\,$

derart, dass ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ durch die Substitution ${}X\mapsto X^{a}$ wirkt. Es sei ${}q$ eine Primzahl, die kein Teiler von ${}n$ sei, und es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von ${}(q)$. Das Element ${}q$ gehört zur Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$, seine Ordnung sei ${}f$, vergleiche Fakt. Zu ${}q$ gehört der Automorphismus ${}\psi$ von ${}R_{n}$, der ${}X$ auf die ${}q$-te Potenz von ${}X$ abbildet, wobei dies nur von der Restklasse von ${}q$ modulo ${}n$ abhängt. Dieser stimmt auf dem Faserring ${}R_{n}/(q)R_{n}$ der Charakteristik ${}q$ mit dem Frobeniushomomorphismus überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt und da der Frobenius auf ${}\mathbb {Z} /(q)$ die Identität ist. Daher gilt ${}\psi ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}$ nach Aufgabe und ${}\psi$ gehört zur Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$. Da ${}q$ die Ordnung ${}f$ besitzt, und die Zerlegungsgruppe nach Fakt  (4) ${}f$ Elemente besitzt, wird die Zerlegungsgruppe von diesem Element erzeugt. Da ${}\psi$ auf dem Faserring den Frobenius induziert, gilt dies auch auf dessen Restekörpern. Somit wird unter der in Fakt  (3) beschriebenen natürlichen Korrespondenz zwischen der Zerlegungsgruppe und der Galoisgruppe der Restekörpererweiterungen die Substitution ${}X\mapsto X^{q}$ auf den Frobenius abgebildet. Damit ist insbesondere zu jeder Primzahl ${}q$ das Frobenius-Element (siehe Bemerkung) im Fall von Kreisteilungsringen explizit gegeben.