Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrektheit/Textabschnitt

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Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt im allgemeinen Distributivgesetz. Für zwei natürliche Zahlen der Form

ist

Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor nicht kleiner als , aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist Bemerkung anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren.


Verfahren  

Beim schriftlichen Multiplizieren zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor.

  1. Man berechnet für jedes einzeln die Dezimalziffern des Teilproduktes und die Überträge (mit dem Startwert ) sukzessive über die Gleichungen

    mit

  2. Die zu den (bzw. ) gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils unterhalb von steht.
  3. Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens.

Das Ergebnis (im Dezimalsystem) dieser Addition ist die Ausgabe des Multiplikationsalgorithmus.

Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl einstellig ist (sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt). Diesen Fall betrachten wir zuerst.



Lemma  

Das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis  

Die linke Faktor sei

und der rechte Faktor sei , wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form

im Sinne von Fakt durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl . Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem -ten Schritt () der Ausdruck

konstant ist. Wegen

und da für

das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von

aus (das beschreibt den -ten Rechenschritt)


Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl.


Lemma

Beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl

sind die Überträge stets .

Beweis

Siehe Aufgabe.


Der Übertrag tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der mit zeigt.


Beispiel  

Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit multiplizieren. Beispielsweise ist bei und bzw. einerseits

und andererseits


Im Gegensatz zur Multiplikation mit der ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der , also mit und , besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die -te Ziffer des Produktes einer Zahl mit der (oder der ) auszurechnen, muss man nur die -te und die -te Ziffer der Zahl kennen.

Bemerkung  

Bei der Multiplikation mit und mit vereinfacht sich das in Bemerkung beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl

mit einer einstelligen Zahl . Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen (Division mit Rest)

mit

durchzuführen, wobei dadurch die und die rekursiv mit dem Startwert festgelegt sind und wobei die die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur

berechnen muss und die Ergebnisziffern

erhält. Insbesondere hängt nur von und ab. Kurz gesagt: Die -te Ziffer eines Produktes mit (oder mit ) ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl mit bzw. mit multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach Fakt bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl die Überträge echt kleiner als . Bei kommen also nur die Überträge oder in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein (wenn man zu einer geraden Zahl eine addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht), Die Beziehung folgt direkt.

Bei kommen nur die Überträge in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein (wenn man zu einer durch teilbaren Zahl eine Zahl addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht). Die Beziehung folgt wieder direkt.


Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach.



Lemma  

Die Dezimaldarstellung eines Produktes aus einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

und einer Zehnerpotenz erhält man, indem man an diese Ziffernfolge Nullen anhängt.

Beweis  

Es ist

woraus unmittelbar die Dezimaldarstellung des Produktes ablesbar ist.




Satz  

Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis  

Die beiden Zahlen seien

Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander

für und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von steht. So entstehen Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt (wobei man dies nur gedanklich machen muss). Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis

Nach Fakt werden die im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen Fakt die Zahlen korrekt übereinander, so dass das schriftliche Addieren nach Fakt das korrekte Ergebnis liefert.