Adjungierte Matrix/Cramersche Regel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer quadratischen Matrix $M \in {Mat}_{n} (K)$ heißt

M^{adj} = (b_{i j}) mit b_{i j} = (- 1)^{i + j} det M_{j i},

wobei $M_{j i}$ die Streichungsmatrix zur $j$ -ten Zeile und zur $i$ -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von $M$ .

Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ .

Dann ist

$(M^{adj}) \cdot M = (det M) E_{n} = M \cdot (M^{adj})$

Wenn $M$ invertierbar ist, so ist

M^{- 1} = \frac{1}{det M} \cdot M^{adj} .

Beweis

Es sei $M = {(a_{i j})}_{i j}$ . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien

b_{i k} = (- 1)^{i + k} det M_{k i} .

Die Koeffizienten des Produktes $(M^{adj}) \cdot M$ sind

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k j} = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{i + k} a_{k j} det M_{k i} .

Bei $j = i$ ist dies $det M$ , da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der $j$ -ten Spalte handelt. Es sei $j \neq i$ und es sei $N$ die Matrix, die aus $M$ entsteht, wenn man in $M$ die $i$ -te Spalte durch die $j$ -te Spalte ersetzt. Wenn man $N$ nach der $i$ -ten Spalte entwickelt, so ist dies

0 = det N = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{i + k} a_{k j} det M_{k i} = c_{i j} .

Also sind diese Koeffizienten $0$ , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.

◻

Die folgende Aussage heißt Cramersche Regel.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & c_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & c_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} & = & c_{n} \end{matrix}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix $M = {(a_{i j})}_{i j}$ invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_{j}$ durch $x_{j} = \frac{det (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & c_{1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & c_{n} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix})}{det M}$ .

Beweis

Für eine invertierbare Matrix $M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem $M x = c$ , indem man $M^{- 1}$ anwendet, d.h. es ist $x = M^{- 1} c$ . Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies $x = \frac{1}{det M} (M^{adj}) c$ . Für die $j$ -te Komponente bedeutet dies

x_{j} = \frac{1}{det M} (\sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + j} (det M_{k j}) \cdot c_{k}) .

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der $j$ -ten Spalte.

◻

Beispiel

Wir lösen das lineare Gleichungssystem

(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 1 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix})

mit Hilfe der Cramerschen Regel. Es ist

x_{1} = \frac{det (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix})}{det (\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 1 & 5 \end{matrix})} = - \frac{11}{23}

und

x_{2} = \frac{det (\begin{matrix} 4 & 2 \\ - 1 & 7 \end{matrix})}{det (\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 1 & 5 \end{matrix})} = \frac{30}{23} .