Algebra/Automorphismen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Ein bijektiver -Algebrahomomorphismus

heißt -Algebraautomorphismus.



Lemma

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Identität ist ein -Algebraautomorphismus.
  2. Die Verknüpfung von zwei -Algebraautomorphismen und ist wieder ein Automorphismus.
  3. Die Umkehrabbildung zu einem -Algebraautomorphismus ist wieder ein Automorphismus.
  4. Die Menge der -Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Die Menge der -Algebra-Automorphismen

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit bezeichnet.


Beispiel  

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen. Es sei

ein linearer Automorphismus, der durch eine invertierbare Matrix

gegeben ist. Wir definieren dazu direkt einen -Algebraautomorphismus, nämlich den durch

definierten Einsetzungshomomorphismus (in mehreren Variablen), den wir mit bezeichnen. Dabei handelt es sich in der Tat um einen Algebraautomorphismus: Der inverse lineare Automorphismus definiert in der gleichen Weise einen Algebrahomomorphismus , und es gilt , da diese Hintereinanderschaltung jede Variable auf sich selbst abbildet.


Bei einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper ist jeder -Automorphismus ein linearer Automorphismus, also durch die Zuordnung mit gegeben. Dies ist in mehreren Variablen nicht der Fall, in der Tat ist schon die Automorphismengruppe von nicht vollständig verstanden. Ein wichtiges offenes Problem ist hierbei das Jacobiproblem.