Algebra/Automorphismen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Ein bijektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

heißt ${}K$-Algebraautomorphismus.

Lemma

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität ist ein ${}K$-Algebraautomorphismus.
2. Die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ von zwei ${}K$-Algebraautomorphismen ${}\varphi$ und ${}\psi$ ist wieder ein Automorphismus.
3. Die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ zu einem ${}K$-Algebraautomorphismus ${}\varphi$ ist wieder ein Automorphismus.
4. Die Menge der ${}K$-Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Die Menge der ${}K$-Algebra-Automorphismen

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit ${}\operatorname {Aut} _{K}\,(A)$ bezeichnet.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ in ${}n$ Variablen. Es sei

$\alpha \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$

ein linearer Automorphismus, der durch eine invertierbare Matrix

${}\alpha =(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

gegeben ist. Wir definieren dazu direkt einen ${}K$-Algebraautomorphismus, nämlich den durch

$X_{i}\longmapsto a_{i1}X_{1}+\cdots +a_{in}X_{n}$

definierten Einsetzungshomomorphismus (in mehreren Variablen), den wir mit ${}\varphi _{\alpha }$ bezeichnen. Dabei handelt es sich in der Tat um einen Algebraautomorphismus: Der inverse lineare Automorphismus ${}\alpha ^{-1}$ definiert in der gleichen Weise einen Algebrahomomorphismus ${}\varphi _{\alpha ^{-1}}$, und es gilt ${}\varphi _{\alpha ^{-1}}\circ \varphi _{\alpha }=\operatorname {Id}$, da diese Hintereinanderschaltung jede Variable auf sich selbst abbildet.

Bei einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper ${}K$ ist jeder ${}K$-Automorphismus ein linearer Automorphismus, also durch die Zuordnung ${}X\mapsto aX$ mit ${}a\neq 0$ gegeben. Dies ist in mehreren Variablen nicht der Fall, in der Tat ist schon die Automorphismengruppe von ${}K[X,Y]$ nicht vollständig verstanden. Ein wichtiges offenes Problem ist hierbei das Jacobiproblem.