Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}W\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei ${}D\colon R\rightarrow R$ eine ${}K$-Derivation. Zeige, dass durch

${}D{\left({\frac {f}{g}}\right)}:={\frac {gD(f)-fD(g)}{g^{2}}}\,$

eine Derivation auf der Nenneraufnahme ${}R_{W}$ gegeben ist, die ${}D$ fortsetzt.

Bemerkung  

Ein Differentialoperator ${}E\colon R\rightarrow R$ auf einer ${}K$-Algebra ${}R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung ${}{\tilde {E}}$ auf der Nenneraufnahme ${}R_{W}$ zu einem multiplikativen System ${}W\subseteq R$. Diese wird induktiv über die Ordnung von ${}E$ definiert. Für die Ordnung ${}0$ ist

${}{\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)}{w}}\,.$

Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung ${}\leq n$ definiert und sei ${}E$ ein Operator der Ordnung ${}\leq n+1$. Dann setzt man

${}{\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)-{\widetilde {[E,\mu _{w}]}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}}{w}}\,,$

wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.

Beispiel

Wir betrachten auf der Quadrik ${}K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ die Derivation

${}D=Y\partial _{X}-X\partial _{Y}\,$

${}Y$. Diese wird auf eine Nenneraufnahme ${}R_{XYZ}$ fortgesetzt, beispielsweise ist

${}{\begin{aligned}D{\left({\frac {W}{XYZ}}\right)}&={\frac {XYZD(W)-WD(XYZ)}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&=-W{\frac {{\left(Y\partial _{X}-X\partial _{Y}\right)}(XYZ)}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&=-W{\frac {Y^{2}Z-X^{2}Z}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}.\end{aligned}}$

Bemerkung  

Wir betrachten den affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und den projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Die projektiven Koordinaten seien ${}y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}$, ein affiner Ausschnitt davon ist

${}D_{+}(y_{0})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{1}}{y_{0}}},\ldots ,{\frac {y_{n}}{y_{0}}}]\right)}\,.$

Wir setzen

${}u_{i}={\frac {y_{i}}{y_{0}}}\,.$

Dann sind die partiellen Ableitungen ${}\partial _{u_{i}}$ auf die anderen affinen Stücke ausdehnbar. Mit

${}D_{+}(y_{n})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{0}}{y_{n}}},\ldots ,{\frac {y_{n-1}}{y_{n}}}]\right)}=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {u_{j}}{u_{n}}},j\neq 0,n,\,{\frac {1}{u_{n}}}]\right)}\,.$

Dabei ist

${}\partial _{u_{j}}{\left({\frac {u_{r}}{u_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {u_{r}}{u_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$

Somit handelt es sich um eine Derivation auf dem projektiven Raum.

${}y_{i}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{i}}{y_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{i}y_{r}}{y_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$

Speziell ist für ${}y_{0}\partial _{y_{j}}$

${}y_{0}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{0}}{y_{s}}}={\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{0}y_{r}}{y_{s}^{2}}}=-{\frac {1}{u_{s}}}\cdot {\frac {u_{r}}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,,\end{cases}}\,$

das stimmt also mit ${}\partial _{u_{j}}$ überein.

Bemerkung  

Wir betrachten den affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und die Aufblasung ${}{\tilde {X}}$ davon im Nullpunkt. Ein affiner Ausschnitt davon ist

$\operatorname {Spec} {\left(K[x_{1},{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{1}}}]\right)}.$

Die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}$ sind nicht fortsetzbar auf die Aufblasung, die ${}x_{i}\partial _{i}$ sind fortsetzbar und sind Derivationen vom Grad ${}0$. Wenn man von

${}{\widetilde {{\mathbb {A} }_{K}^{2}}}=\operatorname {Proj} K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$

mit ${}X,Z$ vom Grad ${}0$ und ${}Y,W$ vom Grad ${}1$ ausgeht und den unitären Operator aus Beispiel, also

$\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}+Y\partial _{Z}\partial _{W}+W\partial _{X}\partial _{W},$

betrachtet, so besitzt dieser in der gegebenen Graduierung den Grad ${}0$. Auf ${}K[X,{\frac {Z}{X}}]$ bildet dies ${}X$ auf ${}1$ und ${}{\frac {Z}{X}}$ auf ${}-{\frac {Z}{X^{2}}}+2{\frac {Z}{X^{2}}}-{\frac {Z}{X^{2}}}=0$ ab. Auf ${}K[Z,{\frac {X}{Z}}]$ bildet dies ${}Z$ auf ${}0$ und ${}{\frac {X}{Z}}$ auf ${}{\frac {1}{Z}}-{\frac {1}{Z}}=0$ ab. Es gibt also auf nichtaffinen, semiaffinen (eigentlich über einem affinen Schema) (globale nichtkonstante) unitäre Differentialoperatoren. Die birationale Beschreibung dieses Operators ist einfach

${}\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}\partial _{X}\,.$

Es ist ja nur die Wirkungsweise des Operators auf den Monomen ${}X^{i}Z^{j}$ relevant, und diese werden durch die beiden hinteren Summanden des Operators annulliert.

Wenn man zusätzlich an einem weiteren Punkt ${}(a,b)$ aufbläst, so ist dieser Operator auf der Gesamtaufblasung nicht global definiert. Es ist ja

${}F{\left({\frac {X-a}{Z-b}}\right)}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}{\frac {1}{Z-b}}={\frac {1}{Z-b}}-Z{\frac {1}{(Z-b)^{2}}}={\frac {Z-b-Z}{(Z-b)^{2}}}={\frac {-b}{(Z-b)^{2}}}\,,$

was bei ${}b\neq 0$ nicht zum Bewertungsring des exzeptionellen Divisors gehört, obwohl ${}{\frac {X-a}{Z-b}}$ dazugehört.