Algorithmus/Schriftliches Rechnen/Grundkurs/Bemerkung
Unter einem Algorithmus versteht man ein durch bestimmte Regeln festgelegtes (deterministisches) Verfahren, mit dem man in endlich vielen Schritten zu einem Ergebnis kommt. Ein Algorithmus bezieht sich auf eine Menge von möglichen Eingaben (Input) und liefert eine Ausgabe, das Ergebnis (Output). Ein Algorithmus berechnet den Wert einer Abbildung (einschließlich einer Verknüpfung), überprüft, ob eine Relation zwischen Elementen vorliegt oder nicht, findet die Lösung zu einer Gleichung. Die Regeln sind präzise Handlungsanweisungen und müssen alle möglichen Fälle abdecken. Ein Algorithmus kann prinzipiell durch eine Maschine durchgeführt werden.
Im Grundkurs werden wir die folgenden Algorithmen behandelt: Schriftliches[1] Zählen[2] (Nachfolgernehmen), schriftliches Vergleichen, schriftliches Addieren, schriftliches Multiplizieren, schriftliches Subtrahieren, schriftliches Dividieren (in einem Stellenwertsystem), der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das Invertierungsverfahren für Matrizen, das Heron-Verfahren.
Folgende Punkte sind charakteristisch für einen Algorithmus.
- Es gibt eine relativ kleine Zahl von Einzelschritten, auf die im Durchlauf des Algorithmus immer wieder Bezug genommen wird.
- Die Einzelschritte verwenden eine endliche Liste von gespeicherten elementaren Teilergebnissen (Datenbank).
- Es muss irgendwie verbucht werden, auf welche Stelle sich der Einzelschritt bzw. dessen Ergebnis bezieht (Nummerierung, Indizierung, Anordnung).
- Die Einzelschritte verwenden Fallunterscheidung, entlang welcher sich das Verfahren verzweigt.
- Es werden Hilfszahlen zwischengespeichert und verwendet.
Beispielsweise werden im Additionsalgorithmus immer wieder zwei einstellige Zahlen miteinander addiert, dabei wird auf das kleine Einsundeins Bezug genommen und die Endziffer dieser Teilrechnung wird an der richtigen Stelle notiert. Die Weiterverarbeitung hängt davon ab, ob diese Einzelsummen kleiner als oder darüber sind, es werden Überträge notiert.
- ↑ Es ist kein Zufall, dass man hier von schriftlich spricht, obwohl es für die Wirkungsweise der Verfahren selbst unerheblich ist, ob sie im Kopf, auf einem Papier oder in einer Maschine durchgeführt werden. Der explizite Einsatz eines Algorithmus lohnt sich erst dann, wenn die Aufgabe eine gewisse Komplexität besitzt, die ohne schriftliche Hilfsmittel das menschliche Speichervermögen übersteigt. Unter halbschriftlichem Rechnen versteht man übrigens Verfahren, bei denen die Rechnungen zwar durch schriftliche Notizen unterstützt werden, aber ohne dass ein Algorithmus systematisch durchlauft wird.
- ↑ Dieses Zählen kann man auch gut mündlich durchführen.