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Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

    ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Das Mengensystem aller Teilmengen , die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine -Algebra.
    2. Die Einschränkung von auf diese -Algebra ist ein Maß.
  2. Es sei ein -endlicher Maßraum, ein Messraum und

    eine messbare Abbildung. Es sei das Bildmaß von unter , das ebenfalls als -endlich vorausgesetzt sei, und es sei

    eine -integrierbare Funktion. Dann ist auch -integrierbar, und es gilt

  3. Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie. Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung

    deren Einschränkung

    auf die Identität ist.