Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolgen/Divisionsalgorithmus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ und

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$

heißt Dezimalbruchfolge.

Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte ${}0$ und ${}1$ besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die „Genauigkeit“ um ein ${}{\frac {1}{10}}$ erhöht, das folgende Glied ${}x_{n+1}$ liegt im Intervall

${}[{\frac {a_{n}}{10^{n}}},{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}[=[x_{n},x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}[\,$

der Länge ${}{\frac {1}{10^{n}}}$, das vom Vorgänger ${}x_{n}$ festgelegt ist.

Wir werden zeigen, dass es für jedes Element ${}x$ in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge

${\frac {9}{10}},\,{\frac {99}{100}},\,{\frac {999}{1000}},\,{\frac {9999}{10000}},\,{\frac {99999}{100000}},\ldots ,$

ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu ${}1$, diese ist nämlich einfach die konstante Folge.

Verfahren  

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Dann nennt man die über ${}n\in \mathbb {N}$ durch

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$

mit ${}u_{n}\in \mathbb {Z}$ und ${}0\leq v_{n}<10^{-n}$ gegebene Folge

${}x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\,$

die (kanonische) Dezimalbruchfolge zu ${}x$.

Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung

${}10^{n}x=u_{n}+v_{n}\cdot 10^{n}\,$

herstammend interpretieren. Es ist also einfach

${}u_{n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \,$

und

${}x_{n}=u_{n}10^{-n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \cdot 10^{-n}\,,$

was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder ${}x_{n}$ dieser Folge approximieren die gegebene Zahl ${}x$ optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner ${}10^{n}$, wie die folgende Aussage zeigt.

Satz

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ und es sei ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.

Dann ist

${}x_{n}\leq x<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,,$

d.h. der ${}n$-te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl ${}x$ bis auf einen Fehler von maximal ${}{\frac {1}{10^{n}}}$. Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition vor.

Beweis

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$

mit ${}u_{n}\in \mathbb {Z}$ und ${}0\leq v_{n}<10^{-n}$ berechnet. Daher ist einerseits

${}x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\leq x\,$

und andererseits

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}=x_{n}+v_{n}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,.$

Die Eigenschaft

${}x_{n}\leq x_{n+1}\,$

ergibt sich auch unmittelbar.

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Lemma

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.

Dann ist

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

die Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {a}{b}}$. Insbesondere ist für jedes ${}n\in \mathbb {N}$

${}\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\leq {\frac {a}{b}}<\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+10^{-n}\,.$

Beweis

Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive

${}{\begin{aligned}a&=z_{0}b+r_{0}\\&=z_{0}b+{\frac {10\cdot r_{0}}{10}}\\&=z_{0}b+{\frac {z_{-1}\cdot b+r_{-1}}{10}}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+r_{-1}10^{-1}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+10\cdot r_{-1}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+{\left(z_{-2}b+r_{-2}\right)}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+z_{-2}b10^{-2}+r_{-2}10^{-2}\end{aligned}}$

und insgesamt

${}a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,.$

Division durch ${}b$ ergibt

${}{\frac {a}{b}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}\,.$

Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {a}{b}}$ definiert wurde.

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