Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolgen/Divisionsalgorithmus/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

mit und

heißt Dezimalbruchfolge.

Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte und besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die „Genauigkeit“ um ein erhöht, das folgende Glied liegt in einem Intervall der Länge , das vom Vorgänger festgelegt ist.

Wir werden zeigen, dass es für jedes Element in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge

ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu , diese ist nämlich wie zu jedem Dezimalbruch einfach die konstante Folge.


Verfahren  

Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper . Dann nennt man die über durch

mit und gegebene Folge

die (kanonische) Dezimalbruchfolge zu .

Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung

herstammend interpretieren. Es ist also einfach

und

was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder dieser Folge approximieren die gegebene Zahl optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner , wie die folgende Aussage zeigt.



Satz  

Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper und es sei , , die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.

Dann ist

d.h. der -te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl bis auf einen Fehler von maximal . Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition vor.

Beweis  

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird

mit und berechnet. Daher ist einerseits

und andererseits

Die Eigenschaft

ergibt sich auch unmittelbar.




Lemma  

Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , , und , , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.

Dann ist

die Dezimalbruchfolge zu . Insbesondere ist für jedes

Beweis  

Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive

und insgesamt

Division durch ergibt

Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu definiert wurde.