Archimedisch angeordneter Körper/Sand/Einführung/Textabschnitt

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Wenn man sich wie üblich die reellen Zahlen als Zahlengerade vorstellt, so ist das nächste Axiom selbstverständlich. Es gibt aber auch sehr interessante angeordnete Körper, in denen dieses Axiom nicht gilt; es gilt auch nicht im Rahmen der sogenannten Nichtstandardanalysis.



Definition  

Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

gibt.

Diese Eigenschaft ist für negative Elemente stets erfüllt, für positive Elemente handelt es sich aber um eine echte neue Bedingung, die nicht jeder angeordnete Körper erfüllt. Die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen bilden jeweils einen archimedisch angeordneten Körper, ein nicht-archimedisch angeordneter Körper wird in Aufgabe besprochen. Einen archimedisch angeordneten Körper kann man sich als eine Zahlengerade vorstellen, auf denen auch die ganzen Zahlen liegen. Mit Zahlengerade wird noch nichts genaues über „Lücken“ oder „Kontinuität“ behauptet.

Zandlineaal-schuin.jpg
Dune 7 in the Namib Desert.jpeg


Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ist und egal wie klein ein positives ist, man kann stets mit hinreichend vielen die Zahl übertreffen. Egal wie kurz eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede beliebig lange Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.


Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu mit stets ein mit .

Beweis  

Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Fakt  (6) auch .



Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei .

Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .

Beweis  

Es ist eine nach Fakt  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Fakt  (4) äquivalent zu


Im folgenden Lemma verwenden wir, dass man zunächst die ganzen Zahlen in einem angeordneten Körper wiederfindet und dass man dann auch die rationalen Zahlen in wiederfindet. Die rationale Zahl ist als das Element zu interpretieren, siehe auch Aufgabe.



Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zwischen je zwei Elementen auch eine rationale Zahl (mit ) mit

Beweis  

Wegen ist und daher gibt es nach Fakt ein mit . Nach Fakt gibt es auch ein mit

und ein mit

Daher gibt es auch ein derart, dass

ist. Damit ist einerseits

und andererseits

wie gewünscht.


In einem archimedisch angeordneten Körper bilden die ganzzahligen Intervalle , , eine disjunkte Überdeckung. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.

Floor function.svg



Definition  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Die Gaußklammer ist die Funktion

die durch

definiert wird.

Da die Werte der Gaußklammer die ganzen Zahlen sind, kann man die Gaußklammer auch als eine Abbildung auffassen.



Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und .

Dann gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Wir schreiben  mit . Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl mit . Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung