Archimedisch angeordneter Körper/Sand/Einführung/Textabschnitt

Wenn man sich wie üblich die reellen Zahlen als Zahlengerade vorstellt, so ist das nächste Axiom selbstverständlich. Es gibt aber auch sehr interessante angeordnete Körper, in denen dieses Axiom nicht gilt; es gilt auch nicht im Rahmen der sogenannten Nichtstandardanalysis.

Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem  ${}x\in K$  eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Diese Eigenschaft ist für negative Elemente stets erfüllt, für positive Elemente handelt es sich aber um eine echte neue Bedingung, die nicht jeder angeordnete Körper erfüllt. Die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen bilden jeweils einen archimedisch angeordneten Körper, ein nicht-archimedisch angeordneter Körper wird in Aufgabe besprochen. Einen archimedisch angeordneten Körper kann man sich als eine Zahlengerade vorstellen, auf denen auch die ganzen Zahlen liegen. Mit Zahlengerade wird noch nichts genaues über „Lücken“ oder „Kontinuität“ behauptet.

Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ${}y$ ist und egal wie klein ein positives ${}x$ ist, man kann stets mit hinreichend vielen ${}x$ die Zahl ${}y$ übertreffen. Egal wie kurz eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede beliebig lange Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu  ${}x,y\in K$  mit  ${}x>0$  stets ein  ${}n\in \mathbb {N}$  mit  ${}nx>y$. 

Beweis

Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit  ${}n\geq y/x$.  Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (6) auch  ${}nx\geq y$. 

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei  ${}x>0$. 

Dann gibt es eine natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit  ${}{\frac {1}{n}}\leq x$. 

Beweis

Es ist ${}x^{-1}$ eine nach Fakt  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit  ${}n\geq x^{-1}>0$.  Dies ist nach Fakt  (4) äquivalent zu

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}\leq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$

$\Box$

Im folgenden Lemma verwenden wir, dass man zunächst die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ in einem angeordneten Körper ${}K$ wiederfindet und dass man dann auch die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}K$ wiederfindet. Die rationale Zahl ${}n/m$ ist als das Element ${}n_{K}\cdot (m_{K})^{-1}$ zu interpretieren, siehe auch Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zwischen je zwei Elementen  ${}x<y$  auch eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit

${}x<{\frac {n}{k}}<y\,.$

Beweis

Wegen  ${}y>x$  ist  ${}y-x>0$  und daher gibt es nach Fakt ein  ${}k\in \mathbb {N}$  mit  ${}{\frac {1}{k}}<y-x$.  Nach Fakt gibt es auch ein  ${}n\in \mathbb {N}$  mit

${}n{\frac {1}{k}}>x\,$

und ein  ${}n'\in \mathbb {Z} _{-}$  mit

${}n'{\frac {1}{k}}\leq x\,.$

Daher gibt es auch ein  ${}n\in \mathbb {Z}$  derart, dass

$n{\frac {1}{k}}>x\,\,{\text{ und }}\,\,(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$

ist. Damit ist einerseits

${}x<{\frac {n}{k}}\,$

und andererseits

${}{\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,$

wie gewünscht.

$\Box$

In einem archimedisch angeordneten Körper bilden die ganzzahligen Intervalle ${}[n,n+1[$, ${}n\in \mathbb {Z}$, eine disjunkte Überdeckung. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und  ${}x\in K$.  Die Gaußklammer von ${}x$ ist durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

Da die Werte der Gaußklammer die ganzen Zahlen sind, kann man die Gaußklammer auch als eine Abbildung ${}K\rightarrow \mathbb {Z}$ auffassen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und  ${}b>1$. 

Dann gibt es zu jedem  ${}S\in K$  eine natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit

${}b^{n}\geq S\,.$

Beweis

Wir schreiben ${}b=1+u$ mit ${}u>0$. Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit  ${}nu\geq S-1$.  Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung

${}b^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu\geq 1+S-1=S\,.$

$\Box$