Bilinearform/Typ/Sylvester/Einführung/Textabschnitt

Eine Bilinearform auf ${}V$ kann man auf einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf ${}U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

$(p,q)$

besitzt, wobei

${}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$

und

${}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$

ist.

Beispiel

Es seien ${}p,q,n$ natürliche Zahlen mit ${}p+q\leq n$. Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ die Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$, die durch

$\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle :=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}\,$

gegeben ist. Sie hat den Typ ${}(p,q)$, und zwar ist die Einschränkung auf den Unterraum ${}\mathbb {R} e_{1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p}$ positiv definit und die Einschränkung auf den Unterraum ${}\mathbb {R} e_{p+1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p+q}$ negativ definit.

Bei einem Skalarprodukt auf einem ${}n$-dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ ${}(n,0)$. Wie für Skalarprodukte nennt man Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal bezüglich einer Bilinearform, wenn ${}\left\langle v,w\right\rangle =0$ ist, und ähnlich wie im Fall eines Skalarproduktes kann man zeigen, dass es Orthogonalbasen gibt.

James Joseph Sylvester (1814-1897)

Die folgende Aussage nennt man den Trägheitssatz von Sylvester.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass ${}p'\leq p$ gilt. Sei ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist ${}V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist ${}W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.

$\Box$