Binomialverteilung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}p\in [0,1]$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte ${}B_{p,n}$ auf ${}M=\{0,1,\ldots ,n\}$ mit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$.

Lemma

Die Binomialverteilung zu ${}p\in [0,1]$

ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf ${}\{0,1,\ldots ,n\}$.

Beweis

Wir müssen lediglich nachweisen, dass

${}\sum _{k=0}^{n}B_{p,n}(k)=1\,$

ist. Nach dem binomischen Lehrsatz ist

${}1=1^{n}=(p+(1-p))^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{p,n}(k)\,,$

was die Behauptung bestätigt.

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Lemma

Es sei ${}M=\{0,1\}$ mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit ${}p$ versehen und es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei

${}N=M^{n}\,$

das ${}n$-fache Produkt von ${}M$ mit sich selbst.

Dann besitzt zu ${}k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ das Ereignis

${}E_{k}={\left\{{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\in M^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}x_{i}=k\right\}}\,$

die Wahrscheinlichkeit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,.$

Beweis

Da jedes ${}x_{i}$ nur den Wert ${}0$ oder ${}1$ haben kann, gilt ${}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=k$ genau dann, wenn in

${}x=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,$

genau ${}k$-fach eine ${}1$ (und $n-k$-fach eine ${}0$ steht). Diese Tupel entsprechen den ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$, davon gibt es nach Fakt ${}{\binom {n}{k}}$ Stück. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches einzelnes Tupel von diesem Typ ist nach der Definition der Produktwahrscheinlichkeit gleich ${}p^{k}(1-p)^{n-k}$. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von ${}E_{k}$ gleich

${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

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Satz

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte ${}0$ und ${}1$ annehmen kann und bei dem der Wert ${}1$ die Wahrscheinlichkeit ${}p$ besitzt.

Dann ist die Verteilung auf ${}\{0,1,\ldots ,n\}$, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der ${}n$-fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes ${}k$-fach das Ereignis ${}1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$ gegeben.

Beweis

Das Experiment wird durch die Bernoulli-Verteilung auf ${}M=\{0,1\}$ mit der Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$ beschrieben. Die ${}n$-fache Hintereinanderausführung wird somit durch den Produktraum ${}M^{n}$ beschrieben. Das Ereignis

${}E_{k}\subseteq M^{n}\,,$

das beschreibt, dass genau ${}k$-fach ${}1$ eintritt, besitzt nach Fakt die Wahrscheinlichkeit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,.$

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Korollar

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem ${}n$-fachen Münzwurf genau ${}k$-fach Kopf fällt,

beträgt

${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\frac {\binom {n}{k}}{2^{n}}}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da bei ${}p={\frac {1}{2}}$ die Gleichheit

${}p^{k}(1-p)^{n-k}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k}\cdot {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n-k}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}={\frac {1}{2^{n}}}\,$

gilt.

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