Binomialverteilung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei  $p\in [0,1]$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $B_{p,n}$ auf  $M=\{0,1,\dots ,n\}$  mit

$B_{p,n}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

Lemma

Die Binomialverteilung zu  $p\in [0,1]$ 

ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf $\{0,1,\dots ,n\}$.

Beweis

Wir müssen lediglich nachweisen, dass

$\sum _{k=0}^n{B}_{p,n}(k)=1$

ist. Nach dem binomischen Lehrsatz ist

$1=1^n=(p+(1-p){)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}=\sum _{k=0}^n{B}_{p,n}(k),$

was die Behauptung bestätigt.

$◻$

Lemma

Es sei  $M=\{0,1\}$  mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit $p$ versehen und es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Es sei

$N=M^n$

das $n$-fache Produkt von $M$ mit sich selbst.

Dann besitzt zu  $k\in \{0,1,\dots ,n\}$  das Ereignis

$E_k=\{(x_1,\dots ,x_n)\in M^n\mid \sum _{i=1}^n{x}_i=k\}$

die Wahrscheinlichkeit

$B_{p,n}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}.$

Beweis

Da jedes $x_i$ nur den Wert $0$ oder $1$ haben kann, gilt  $\sum _{i=1}^n{x}_i=k$  genau dann, wenn in

$x=(x_1,\dots ,x_n)$

genau $k$-fach eine $1$ (und $n-k$-fach eine $0$ steht). Diese Tupel entsprechen den $k$-elementigen Teilmengen von $\{1,\dots ,n\}$, davon gibt es nach Fakt $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ Stück. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches einzelnes Tupel von diesem Typ ist nach der Definition der Produktwahrscheinlichkeit gleich $p^k(1-p{)}^{n-k}$. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von $E_k$ gleich

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}.$

$◻$

Satz

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte $0$ und $1$ annehmen kann und bei dem der Wert $1$ die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt.

Dann ist die Verteilung auf $\{0,1,\dots ,n\}$, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der $n$-fachen (unabhängigen) Hintereinanderausführung des Experimentes $k$-fach das Ereignis $1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben.

Beweis

Das Experiment wird durch die Bernoulli-Verteilung auf  $M=\{0,1\}$  mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ beschrieben. Die $n$-fache Hintereinanderausführung wird somit durch den Produktraum $M^n$ beschrieben. Das Ereignis

$E_k\subseteq M^n,$

das beschreibt, dass genau $k$-fach $1$ eintritt, besitzt nach Fakt die Wahrscheinlichkeit

$B_{p,n}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}.$

$◻$

Korollar

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt,

beträgt

$B_{\frac{1}{2},n}(k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{2^n}.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da bei  $p=\frac{1}{2}$  die Gleichheit

$p^k(1-p{)}^{n-k}={\left(\frac{1}{2}\right)}^k\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-k}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2^n}$

gilt.

$◻$