Charaktere/Monoid und Gruppe/Einführung/Textabschnitt
Die Menge der Charaktere von nach bezeichnen wir mit . Mit dem trivialen Charakter (also der konstanten Abbildung nach ) und der Verknüpfung
ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von nach . Da es zu jedem Charakter den inversen Charakter gibt, der durch
definiert ist, bildet sogar eine kommutative Gruppe(siehe unten).
Definition
Es sei ein Gruppe und ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere
die Charaktergruppe von (in ).
Lemma
Es sei eine Gruppe, ein Körper und die Charaktergruppe zu . Dann gelten folgende Aussagen.
- ist eine kommutative Gruppe.
- Bei einer direkten Gruppenzerlegung ist .
Beweis
Lemma
Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt.
Dann sind und isomorphe Gruppen.
Beweis
Nach Fakt (2) und Fakt kann man annehmen, dass eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus
ist durch eindeutig festgelegt, und wegen
ist eine -te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder -ten Einheitswurzel durch die Zuordnung nach Fakt und Fakt einen Gruppenhomomorphismus von nach definieren. Die Menge der -ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung . Also gibt es solche Homomorphismen. Wenn eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch festgelegte Homomorphismus die Ordnung und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also .