Dedekindbereich/Ordnung/Divisoren/Einführung/Textabschnitt
Zu einem Dedekindbereich und einem Primideal ist nach Fakt die Lokalisierung ein diskreter Bewertungsring und somit ergibt sich insgesamt eine Abbildung
Es sei ein Dedekindbereich, ein Primideal in und , . Dann heißt die Ordnung im diskreten Bewertungsring die Ordnung von am Primideal (oder an der Primstelle oder in ). Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Dedekindbereich und ein Primideal in . Dann hat die Ordnung an , also die Abbildung
folgende Eigenschaften.
- .
- .
- Es ist genau dann, wenn .
Es sei ein Dedekindbereich und , . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal in die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe
geschrieben.
Die Ordnung an einem Primideal nennt man in diesem Zusammenhang auch die Verschwindungsordnung. Die Ordnung ist ja genau dann positiv, wenn zum Primideal gehört, und dies ist genau dann der Fall, wenn unter der Abbildung
das Element auf abgebildet wird, also an dieser Stelle verschwindet. Eine höhere Verschwindungsordnung bedeutet, dass nicht nur einfach, sondern mit einer gewissen Vielfachheit verschwindet. Der Hauptdivisor zu notiert also, mit welcher Verschwindungsordnung die Funktion an den verschiedenen Primstellen verschwindet.
Es sei ein faktorieller Dedekindbereich. Dann lässt sich der Hauptdivisor zu einem Ringelement , , unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn
mit einer Einheit und paarweise nicht assoziierten Primelementen ist, so ist der Hauptdivisor zu gleich
Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von in der Lokalisierung gleich ist.
Es sei ein Dedekindbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement den Hauptdivisor zuordnet, also
folgende Eigenschaften.
-
- Es ist genau dann eine Einheit, wenn ist.
Dies folgt direkt aus Fakt durch Betrachtung an den einzelnen Primidealen.
Es sei ein Dedekindbereich und , .
Dann ist nur für endlich viele Primideale in die Ordnung von verschieden.
Das heißt, dass der Hauptdivisor eine endliche Summe ist.
Es ist nulldimensional, deshalb folgt die Aussage aus Fakt.