Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei ${}t_{0}\in I$, ${}\gamma (t_{0})=P$ und sei ${}v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld ${}F$ längs ${}\gamma$, das parallel ist und

   ${}F(t_{0})=v\,$

   erfüllt.
2. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

   $x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$. Dann lässt sich jede auf ${}U$ definierte ${}k$-Differentialform

   ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als

   ${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

   mit eindeutig bestimmten Funktionen

   $f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

3. Es sei ${}Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein achsenparalleler ${}n$-dimensionaler Quader (mit Seiten aber ohne Kanten) mit dem Rand ${}\partial Q$ und ${}\omega$ eine auf ${}Q$ definierte stetig-differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform. Dann ist

   ${}\int _{Q}d\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$

Zur gelösten Aufgabe