Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokal integrabel/Krümmung/Fakt

Satz von Frobenius

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$p\colon E\longrightarrow M$

ein differenzierbares Vektorbündel, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Der Zusammenhang ist lokal integrabel.
2. Der Zusammenhang ist lokal bezüglich geeigneter Basisschnitte isomorph zum trivialen Zusammenhang.
3. Für jeden Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$ derart, dass ${}E{|}_{U}$ trivial ist und dass die zugehörigen Christoffelsymbole die Nullfunktionen sind.
4. Der Krümmungsoperator ist für beliebige Vektorfelder trivial.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen