Dreiecksgeometrie/Rechtwinkligkeit/Pythagoras/Textabschnitt

Definition

Ein Dreieck ${}(A,B,C)$ heißt rechtwinklig, wenn an einem Eckpunkt die anliegenden Seiten orthogonal zueinander sind.

Definition

Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

Definition

Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.

Der Satz des Pythagoras lautet für ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt.

Satz

In einem rechtwinkligen Dreieck

ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.

Die Dreieckspunkte seien ${}A,B,C$ mit dem rechten Winkel an ${}C$ . Wir setzen ${}v=C-A$ und ${}w=B-C$ . Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}B$ ist dann gleich ${}v+w$ und ${}v$ und ${}w$ stehen senkrecht aufeinander. Somit ist

{}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.

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In dieser Formulierung wird verwendet, dass der Flächeninhalt eines Quadrats (also des geometrischen Objektes) gleich dem (arithmetischen) Quadrat der Seitenlänge ist. Der Beweis hat nichts mit Flächeninhalten zu tun.

Definition

Zu einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch ${}A$ , die senkrecht auf der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ steht, die Höhengerade durch ${}A$ . Die Verbindungsstrecke von ${}A$ zur Geraden durch ${}B$ und ${}C$ heißt Höhe durch ${}A$ .

Die Länge der Höhe wird selbst auch oft Höhe genannt.

Definition

In einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch ${}A$ mit der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.

Der folgende Satz heißt Kathetensatz.

Satz

Es sei ${}A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt ${}C$ . Es sei ${}h$ die Höhe durch ${}C$ und ${}D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch ${}A$ und ${}B$ .

Dann ist

${}d(A,C)^{2}=d(A,D)\cdot d(A,B)\,.$

Beweis

Wir setzen ${}v=C-A$ und ${}w=B-C$ . Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}B$ ist dann gleich ${}v+w$ . Wir setzen den Höhenfußpunkt als

{}D=A+\lambda (v+w)\,

mit einem ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und den Richtungsvektor der Höhe als

{}h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

{}{\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}

und somit ist

{}\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.

Daher ist

{}{\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}

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Der folgende Satz heißt Höhensatz.

Satz

Es sei ${}A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt ${}C$ . Es sei ${}h$ die Höhe durch ${}C$ und ${}D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch ${}A$ und ${}B$ .