Ebene kubische Kurven/Affin/Singularitäten/Textabschnitt

Beispiel

Wir betrachten die durch das Polynom ${}V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$ gegebene Neilsche Parabel über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=-3X^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2Y.$

Wenn man diese ${}=0$ setzt, so folgt direkt, dass ${}(0,0)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist und diese ansonsten glatt ist.

Beispiel

Wir betrachten die durch das Polynom ${}V{\left(Y^{2}-X^{3}-3X^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=-3X^{2}-6X{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2Y.$

Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) ${}=0$ setzt, so folgt ${}Y=0$ und somit auch

${}X^{2}(X+3)=0=X(X+2)\,.$

Somit ist der Nullpunkt ${}(0,0)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve, die ansonsten glatt ist.

Beispiel

Rene Descartes (1596-1650)

Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung ${}F=X^{3}+Y^{3}-3XY=0$ beschrieben, der Grundkörper habe nicht die Charakteristik. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}-3Y{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3Y^{2}-3X.$

Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) ${}=0$ setzt, so folgt $Y=X^{2}$ und $X=Y^{2}$, also auch ${}Y=Y^{4}$ (ebenso für ${}X$). Dann ist ${}Y=X=0$, und somit liegt im Nullpunkt eine Singularität vor, oder ${}X$ und ${}Y$ sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide ${}1$ oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber ${}F$ den Wert ${}-1$, diese sind also keine Punkte der Kurve. Der Nullpunkt ist also der einzige nichtglatte Punkt der Kurve.