Ebene kubische Kurven/Affin/Singularitäten/Textabschnitt

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Beispiel  

Cusp.svg

Die Neilsche Parabel ist das Bild unter der monomialen Abbildung

Die zugehörige Gleichung ist , d.h. es ist .




Beispiel  

Wir betrachten die durch

gegebene Abbildung

Für die beiden Punkte ergibt sich der Wert . Für alle anderen Stellen kann man

schreiben. D.h. dass aus den Bildwerten rekonstruierbar ist, und das bedeutet, dass die Abbildung dort injektiv ist. Die Bildkurve ist also eine Kurve, die sich an genau einer Stelle überschneidet.

Wir bestimmen die Kurvengleichung, und schreiben und . Es ist und

Das beschreibende Polynom ist also

Cubic with double point.svg


Beispiel  


Kartesisches-Blatt.svg


Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung beschrieben (die ist dabei nicht wichtig, und könnte durch eine andere Zahl ersetzt werden). Die homogenen Bestandteile der Kurvengleichung sind und . Damit hat der Nullpunkt des Kartesischen Blattes die Multiplizität zwei und ist singulär, und sowohl die - als auch die -Achse sind Tangenten (mit einfacher Multiplizität). An den übrigen Punkten ist die Kurve glatt (der Grundkörper habe nicht die Charakteristik ): aus

folgt und , also auch (ebenso für ). Dann ist oder und sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber den Wert , diese sind also keine Punkte der Kurve.