Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Kubische Realisierung/Textabschnitt

Definition

Eine glatte projektive Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ vom Geschlecht ${}1$ nennt man elliptische Kurve.

Die erste Kohomologie ${}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})$ muss also eindimensional sein. Eine glatte kubische Kurve besitzt nach Fakt das Geschlecht ${}1$. Wenn man wie oben eine elliptische Kurve durch das Geschlecht definiert, so ist es keineswegs klar, dass sie eine kubische Realisierung besitzt. Beispielsweise besitzt wie in Bemerkung erläutert der Durchschnitt im ${}{\mathbb {P} }_{K}^{3}$ von zwei Flächen vom Grad ${}2$ im glatten Fall ebenfalls das Geschlecht ${}1$, und diese geometrische Realisierung legt nicht nahe, dass es auch eine ebene kubische Realisierung gibt. Aus Fakt folgt für eine elliptische Kurve das folgende Einbettungsresultat.

Satz

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einer elliptischen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei ${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=3$.

Dann definieren die globalen Schnitte von ${}{\mathcal {L}}$ eine abgeschlossene Einbettung

$C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}.$

Das Bild ist eine kubische Kurve.

Beweis

Dass eine Einbettung ist ein Spezialfall von Fakt. Es seien ${}r,s,t\in \Gamma (C,{\mathcal {L}})$ unabhängige Schnitte, die unter der Einbettung den Variablen ${}x,y,z$ entsprechen. In ${}\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{2})$ gibt es die Schnitte ${}r^{2},s^{2},t^{2},rs,rt,st$. Zwischen diesen besteht keine Relation, da andernfalls das Bild der Kurve eine quadratische Relation erfüllen würde, doch dann wäre sie eine projektive Gerade. In ${}\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{3})$ gibt es die Schnitte ${}r^{3},s^{3},t^{3},rs^{2},rt^{2},rst,rs^{2},rt^{2},s^{2}t,st^{2}$. Nach Fakt und Serre-Dualität ist der Raum aber neundimensional. Deshalb muss es eine lineare Relation zwischen diesen zehn Termen geben, und dies ist die kubische Relation, die das Bild der Kurve erfüllt.

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