Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produkt/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Eine Münze wird zweimal unabhängig voneinander hintereinander geworfen, und wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, wie oft dabei Zahl fällt. Die Möglichkeiten sind ${}0,1,2$. Diese sind aber nicht gleichwahrscheinlich, sondern die ${}1$ ist deutlich wahrscheinlicher als die ${}0$ und die ${}2$. Wenn man das Ereignis mit der möglichen Wertemenge ${}\{0,1,2\}$ beschreibt, so liegt kein Laplace-Raum vor. Es ist besser, die Gesamtsituation durch den Produktraum ${}\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ zu beschreiben, wobei die Paare daraus die möglichen Ausgänge des Gesamtexperimentes bezeichnen, bei dem das Ergebnis beim ersten Wurf an erster und das Ergebnis beim zweiten Wurf an zweiter Stelle notiert wird. Die möglichen Ergebnisse sind somit

$(Z,Z),\,(Z,K),\,(K,Z),\,(K,K).$

Diese Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich, d.h. mit diesem Produktraum wird das Gesamtexperiment durch einen Laplace-Raum beschrieben, bei dem jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{4}}$ besitzt. Die ursprüngliche Frage nach der Wahrscheinlichkeit, wie oft insgesamt Zahl geworfen wird, wird mit Hilfe dieses Produktraumes dadurch beantwortet, dass man zählt, wie viele der Elementarereignisse zur Summenanzahl ${}0,1,2$ führen. Somit besitzt keinmal Zahl die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{4}}$, einmal Zahl die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{2}}$ und zweimal Zahl die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{4}}$.

Die mehrfache Hintereinanderausführung eines Experimentes wird durch die Produktmenge, die Produktdichte und das Produktmaß mathematisch realisiert.

Definition

Es seien ${}(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten ${}f_{i}$. Dann nennt man die Produktmenge ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$

gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.

Häufig nimmt man in jeder Komponente den gleichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}M$, etwa, wenn man die ${}n$-fache Hintereinanderausführung eines Experimentes untersuchen möchte. Für den Produktraum schreibt man dann kurz ${}M^{n}$.

Beispiel

Es soll zehnmal mit einer Münze hintereinander geworfen werden. Mit dem Grundraum

${}M=\{K,Z\}\,$

wird dies dann mit dem Produktraum

${}N=M^{10}\,$

beschrieben, die Elemente im Produktraum dokumentieren einen möglichen Ausgang des Gesamtexperimentes, es handelt sich um sämtliche Kombinationen der Länge ${}10$ aus ${}K$ oder ${}Z$, „typische“ Elemente sind

$(Z,Z,K,Z,K,K,Z,K,K,Z),\,(K,K,Z,K,K,K,Z,K,Z,K),\,(Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z).$

Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit

${}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{10}={\frac {1}{2^{10}}}\,.$

Lemma

Es seien ${}(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und

${}M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,$

der Produktraum. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der Produktraum ist in der Tat ein Wahrscheinlichkeitsraum.
2. Für Teilmengen ${}T_{1}\subseteq M_{1},\ldots ,T_{n}\subseteq M_{n}$ ist

   ${}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n})\,.$

Beweis

Es seien ${}f_{i}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten.

1. Unter Verwendung des allgemeinen Distributivgesetzes in der Form von Aufgabe gilt

   ${}{\begin{aligned}\sum _{x\in M}f(x)&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in M_{1}\times \cdots \times M_{n}}f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\\&={\left(\sum _{x_{1}\in M_{1}}f_{1}(x_{1})\right)}\cdots {\left(\sum _{x_{n}\in M_{n}}f_{n}(x_{n})\right)}\\&=1\cdots 1\\&=1.\end{aligned}}$

2. Es ist entsprechend

   ${}{\begin{aligned}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})&=\sum _{x\in T_{1}\times \cdots \times T_{n}}f(x)\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in T_{1}\times \cdots \times T_{n}}f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\\&={\left(\sum _{x_{1}\in T_{1}}f_{1}(x_{1})\right)}\cdots {\left(\sum _{x_{n}\in T_{n}}f_{n}(x_{n})\right)}\\&=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n}).\end{aligned}}$

$\Box$

Bemerkung  

Zu Laplace-Räumen ${}(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ mit

${}{\#\left(M_{i}\right)}=k_{i}\,$

ist der Produktraum ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ ebenfalls ein Laplace-Raum mit ${}k_{1}\cdots k_{n}$ Elementen. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Produktraumes und aus Fakt.