Extrema/R/Stetigkeit/Einführung/Textabschnitt

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Extrema example it.svg


Definition  

Es sei eine Menge und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

und dass das Minimum annimmt, wenn

Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch vom globalen Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.


Definition  

Es sei eine Teilmenge und sei

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

gilt.

Wenn für alle (bzw. für alle aus einer offenen Umgebung von ) gilt, so spricht man von einem isolierten Maximum (bzw. von einem isolierten lokalen Maximum). Mit der Differentialrechnung werden wir bald schlagkräftige Methoden kennenlernen, um die Stellen für Minima und Maxima zu bestimmen.



Satz  

Es sei ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein mit

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis  

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ein Intervall ist. Wir zeigen zunächst, dass (nach oben und nach unten) beschränkt ist.  Wir nehmen dazu an, dass nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge in mit . Nach Fakt besitzt eine konvergente Teilfolge. Da abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, so dass sie nach Fakt nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Sei nun das Supremum von , das es nach Fakt gibt. Es gibt nach Aufgabe eine Folge in , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von gibt es eine Folge mit . Für diese Folge gibt es wieder nach Fakt eine konvergente Teilfolge. Es sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit und daher .




Korollar  

Es sei ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

eine stetige Funktion.

Dann ist das Bild ebenfalls ein beschränktes abgeschlossenes Intervall.

Beweis  

Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz und Fakt.


Ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall nennt man auch kompakt.