Extrema/R/Stetigkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $M$ eine Menge und

$f:M⟶ℝ$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt  $x\in M$  das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\ge f(x^{\prime })\text{ für alle }{x}^{\prime }\in M\text{ gilt},$

und dass $f$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\le f(x^{\prime })\text{ für alle }{x}^{\prime }\in M\text{ gilt}.$

Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch vom globalen Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.

Definition

Es sei  $D\subseteq ℝ$  eine Teilmenge und sei

$f:D⟶ℝ$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt  $x\in D$  ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein  $ϵ>0$  derart gibt, dass für alle  $x^{\prime }\in D$  mit  $|x-x^{\prime }|\le ϵ$  die Abschätzung

$f(x)\ge f(x^{\prime })$

gilt. Man sagt, dass $f$ in  $x\in D$  ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein  $ϵ>0$  derart gibt, dass für alle  $x^{\prime }\in D$  mit  $|x-x^{\prime }|\le ϵ$  die Abschätzung

$f(x)\le f(x^{\prime })$

gilt.

Wenn  $f(x)>f(x^{\prime })$  für alle  $x^{\prime }\ne x$  (bzw. für alle $x^{\prime }\ne x$ aus einer offenen Umgebung von $x$) gilt, so spricht man von einem isolierten Maximum (bzw. von einem isolierten lokalen Maximum). Mit der Differentialrechnung werden wir bald schlagkräftige Methoden kennenlernen, um die Stellen für Minima und Maxima zu bestimmen.

Satz

Es sei  $[a,b]\subseteq ℝ$  ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein  $x\in [a,b]$  mit

$f(x)\ge f(x^{\prime })\text{ für alle }{x}^{\prime }\in [a,b].$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild  $J:=f([a,b])$  ein Intervall ist. Wir zeigen zunächst, dass $J$ (nach oben und nach unten) beschränkt ist.  Wir nehmen dazu an, dass $J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $I$ mit  $f(x_n)\ge n$.  Nach Fakt besitzt ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Teilfolge. Da $[a,b]$ abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu $[a,b]$. Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie nach Fakt nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Es sei nun $y$ das Supremum von $J$, das es nach Fakt gibt. Es gibt nach Aufgabe eine Folge ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von $J$ gibt es eine Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit  $f(x_n)=y_n$.  Für diese Folge gibt es wieder nach Fakt eine konvergente Teilfolge. Es sei $x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit  $f(x)=y$  und daher  $y\in J$. 

$◻$

Korollar

Es sei  $[a,b]\subseteq ℝ$  ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine stetige Funktion.

Dann ist das Bild $f([a,b])$ ebenfalls ein beschränktes abgeschlossenes Intervall.

Beweis

Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz und Fakt.

$◻$

Ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall nennt man auch kompakt.