Zu einem
Primelement
p
∈
R
{\displaystyle {}p\in R}
in einem
faktoriellen Bereich
R
{\displaystyle {}R}
mit
Quotientenkörper
Q
(
R
)
{\displaystyle {}Q(R)}
ist die Zuordnung
Q
(
R
)
×
⟶
Z
,
f
g
⟼
exp
p
(
f
)
−
exp
p
(
g
)
,
{\displaystyle Q(R)^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,{\frac {f}{g}}\longmapsto \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)},}
ein
(wohldefinierter)
Gruppenhomomorphismus .
Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
f
g
=
h
q
{\displaystyle {}{\frac {f}{g}}={\frac {h}{q}}\,}
eine weitere Darstellung, also
f
q
=
h
g
.
{\displaystyle {}fq=hg\,.}
Dann ist nach
Fakt
exp
p
(
f
)
+
exp
p
(
q
)
=
exp
p
(
f
q
)
=
exp
p
(
h
g
)
=
exp
p
(
h
)
+
exp
p
(
g
)
,
{\displaystyle {}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}+\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(fq\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(hg\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(h\right)}+\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)}\,,}
woraus sich
exp
p
(
f
)
−
exp
p
(
g
)
=
exp
p
(
h
)
−
exp
p
(
q
)
{\displaystyle {}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(h\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}\,}
ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus
Fakt .
◻
{\displaystyle \Box }
Wir schreiben
f
=
a
b
{\displaystyle {}f={\frac {a}{b}}\,}
mit von
0
{\displaystyle {}0}
verschiedenen Elementen
a
,
b
∈
R
{\displaystyle {}a,b\in R}
. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien
a
=
u
1
p
1
m
1
⋯
p
n
m
n
{\displaystyle {}a=u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}
und
b
=
u
2
p
1
k
1
⋯
p
n
k
n
{\displaystyle {}b=u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}
,
wobei die
p
i
{\displaystyle {}p_{i}}
nicht untereinander assoziiert seien,
m
i
,
k
i
∈
N
≥
0
{\displaystyle {}m_{i},k_{i}\in \mathbb {N} _{\geq 0}}
und
u
1
,
u
2
{\displaystyle {}u_{1},u_{2}}
Einheiten sind. Dann ist
a
b
=
u
1
p
1
m
1
⋯
p
n
m
n
u
2
p
1
k
1
⋯
p
n
k
n
=
u
1
u
2
−
1
p
1
m
1
−
k
1
⋯
p
n
m
n
−
k
n
{\displaystyle {}{\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,}
eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
u
p
1
r
1
⋯
p
n
r
n
=
f
=
v
p
1
s
1
⋯
p
n
s
n
{\displaystyle {}up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,}
gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit
(
p
1
⋯
p
n
)
t
{\displaystyle {}(p_{1}\cdots p_{n})^{t}}
für hinreichend großes
t
{\displaystyle {}t}
, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus
r
i
=
s
i
{\displaystyle {}r_{i}=s_{i}}
für alle
i
{\displaystyle {}i}
und damit auch
u
=
v
{\displaystyle {}u=v}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl
q
=
a
/
b
{\displaystyle {}q=a/b}
eindeutig schreiben als
q
=
±
p
1
r
1
⋯
p
n
r
n
{\displaystyle {}q=\pm p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}\,}
mit Primzahlen
p
1
,
…
,
p
n
{\displaystyle {}p_{1},\ldots ,p_{n}}
und Exponenten
r
1
,
…
,
r
n
∈
Z
{\displaystyle {}r_{1},\ldots ,r_{n}\in \mathbb {Z} }
.
Der multiplikative Übergang von
Z
{\displaystyle {}\mathbb {Z} }
nach
Q
{\displaystyle {}\mathbb {Q} }
enspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von
N
{\displaystyle {}\mathbb {N} }
nach
Z
{\displaystyle {}\mathbb {Z} }
.
Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise
Z
(
I
)
{\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{(I)}}
die Menge aller
I
{\displaystyle {}I}
-Tupel mit Werten in
Z
{\displaystyle {}\mathbb {Z} }
, wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von
0
{\displaystyle {}0}
verschieden sein dürfen.
Es sei
R
{\displaystyle {}R}
ein
faktorieller Bereich mit
Quotientenkörper
K
=
Q
(
R
)
{\displaystyle {}K=Q(R)}
. Es sei
p
i
{\displaystyle {}p_{i}}
,
i
∈
I
{\displaystyle {}i\in I}
,
ein System von paarweise nicht
assoziierten
Primelementen
von
R
{\displaystyle {}R}
und sei
U
{\displaystyle {}U}
die
Einheitengruppe
von
R
{\displaystyle {}R}
Dann ist
(wobei
u
(
q
)
{\displaystyle u(q)}
die nach
Fakt
eindeutige Einheit bezeichnet)
Q
(
R
)
×
⟶
U
×
Z
(
I
)
,
q
⟼
(
u
(
q
)
,
exp
p
i
(
q
)
)
,
{\displaystyle Q(R)^{\times }\longrightarrow U\times \mathbb {Z} ^{(I)},\,q\longmapsto (u(q),\operatorname {exp} _{p_{i}}^{}{\left(q\right)}),}
ein
Gruppenisomorphismus
mit der Umkehrabbildung
U
×
Z
(
I
)
⟶
Q
(
R
)
×
,
(
u
,
e
p
i
)
⟼
u
∏
i
∈
I
p
e
p
i
.
{\displaystyle U\times \mathbb {Z} ^{(I)}\longrightarrow Q(R)^{\times },\,(u,{e_{p_{i}}})\longmapsto u\prod _{i\in I}p^{e_{p_{i}}}.}
◻
{\displaystyle \Box }