Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Zu einem Primelement in einem faktoriellen Bereich mit Quotientenkörper

ist die Zuordnung

ein (wohldefinierter) Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

eine weitere Darstellung, also

Dann ist nach Fakt

woraus sich

ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus Fakt.




Satz  

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper .

Dann besitzt jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten .

Beweis  

Wir schreiben

mit von verschiedenen Elementen . Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien und , wobei die nicht untereinander assoziiert seien, und Einheiten sind. Dann ist

eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen

gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit für hinreichend großes , dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus für alle und damit auch .


Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl eindeutig schreiben als

mit Primzahlen und Exponenten . Der multiplikative Übergang von nach enspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von nach .

Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise die Menge aller -Tupel mit Werten in , wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von verschieden sein dürfen.



Satz  

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei , , ein System von paarweise nicht assoziierten Primelementen von und sei die Einheitengruppe von

Dann ist (wobei die nach Fakt eindeutige Einheit bezeichnet)

ein Gruppenisomorphismus mit der Umkehrabbildung

Beweis  

Dies folgt aus Fakt und Fakt.