Frobenius-Homomorphismus/Elliptische Kurve/Direkt und basistrivial/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen und ${}C$ eine projektive Kurve über ${}K$. Dann besitzt der ${}e$-te absolute Frobenius

den Grad ${}q$.

Beweis

Es gibt eine endliche Abbildung

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

(siehe Fakt für die Algebraversion), sagen wir vom Grad ${}d$. Das Diagramm

${\begin{matrix}C&{\stackrel {F^{e}}{\longrightarrow }}&C&\\\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {P} }_{K}^{1}&{\stackrel {F^{e}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Entsprechend kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}Q(C)&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&Q(C)&\\\uparrow &&\uparrow &\\K(T)&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&K(T)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

der Funktionenkörper. Die vertikalen Abbildungen haben den Grad ${}d$. Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad des ${}e$-ten Frobenius ${}F^{e}$ auf dem Körper ${}K(T)$ zu bestimmen. Dieser ist als ${}K$-Algebrahomomorphismus durch ${}T\mapsto T^{q}$ gegeben. Unter der Abbildung

$K[T]\longrightarrow K[T],\,T\longmapsto T^{q},$

ist (das hintere) ${}K[T]$ eine freie ${}K[T]$-Algebra mit der Basis ${}1,T,T^{2},\ldots ,T^{q-1}$, was sich auf die Quotientenkörper überträgt. Die Dimension von ${}K(T)$ über ${}K(T)$ ist also ${}q$.

$\Box$