Funktionen/K/Grenzwert/Folgenversion/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert. In diesem Fall schreibt man

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in gibt, die gegen konvergieren. Dann heißt ein Berührpunkt von . In diesem Fall ist der Grenzwert, wenn er existiert, eindeutig bestimmt (andernfalls ist jeder Punkt ein Grenzwert).

Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ein reelles Intervall, sei ein Punkt darin und es sei . Die Funktion sei auf , aber nicht im Punkt definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man zu einer sinnvollen Funktion auf ganz fortsetzen kann. Dabei soll durch bestimmt sein.



Lemma  

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist

Beweis  

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.



Beispiel  

Wir betrachten den Limes

wobei , ist. Für ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit erweitern, und erhält dann

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, und es ergibt sich insgesamt .




Lemma

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Es ist
  2. Für jedes gibt es ein derart, dass für alle mit die Abschätzung folgt.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Korollar  

Es sei , und . Es sei eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Funktion ist stetig in .
  2. Es ist

Beweis  

Dies ergibt sich direkt aus Fakt oder aus dem Folgenkriterium.

Für eine stetige Funktion folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion (durch ) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von in gleich ist.