Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Angeordneter Ring/Textabschnitt

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Wir erweitern die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen zu einer Ordnung auf den ganzen Zahlen.


Definition  

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation . Wir sagen

wenn es eine natürliche Zahl mit

gibt.

Damit gilt bei der Interpretation an der Zahlengeraden wieder, dass

bedeutet, dass rechts von liegt.

Bemerkung  

  1. Wenn ist, so ist

    einfach die Ordnung auf , wie unmittelbar aus Fakt folgt.

  2. Wenn ist und negativ, so ist

    da ja dann

    mit ist, da ja sowohl als auch natürliche Zahlen sind.

  3. Wenn und beide negativ sind, so ist

    genau dann, wenn (innerhalb der natürlichen Zahlen)

    gilt. Die Beziehung mit einer natürlichen Zahl ist ja zu äquivalent, was man als schreiben kann.




Lemma  

Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es liegt eine totale Ordnung vor.
  2. Aus folgt für beliebige ,
  3. Aus und folgt für beliebige .

Beweis  

  1. Siehe Aufgabe.
  2. Die Beziehung bedeutet, dass es eine natürliche Zahl mit gibt. Durch beidseitige Addition von ergibt sich , was bedeutet.
  3. Die Voraussetzung bedeutet, dass sind. Somit ist auch , also .


Damit bilden die ganzen Zahlen einen angeordneten Ring im Sinne der folgenden Definition.


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt für beliebige ,
  2. Aus und folgt für beliebige ,

erfüllt.

Die erste Eigenschaft nennt man Verträglichkeit mit der Addition, die zweite Verträglichkeit mit der Multiplikation. Neben den ganzen Zahlen werden wir später zwei weitere angeordnete Ringe kennenlernen, nämlich den Körper der rationalen Zahlen und den Körper der reellen Zahlen. Für all diese Ringe bzw. Körper gelten die folgenden Eigenschaften. Man überlege sich für den Fall der ganzen Zahlen, ob und inwiefern sich die Beweise der folgenden Aussagen vereinfachen.



Lemma  

In einem angeordneten Ring gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.
  4. Es ist genau dann, wenn ist.
  5. Aus und folgt .
  6. Aus und folgt .
  7. Aus und folgt .
  8. Aus und folgt .
  9. Aus und folgt .
  10. Aus und folgt .

Beweis  

  1. Nehmen wir an, dass nicht gilt. Da eine totale Ordnung vorliegt, muss

    gelten, Dies müssen wir zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält

    Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

    also ist zugleich , ein Widerspruch.

  2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  5. Zweimalige Anwendung der Verträglichkeit mit der Addition liefert
  6. Aus ergibt sich nach (3). Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich

    Addition mit ergibt .

  7. Siehe Aufgabe.
  8. Zweimalige Anwendung von (6) liefert
  9. Nach (2) ist , also

    was wiederum bedeutet.

  10. Folgt aus (2) und aus .


Die Eigenschaft (2) kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!