Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Teilmenge/Textabschnitt

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Differentialgleichungen sind ein fundamentaler Bestandteil der Mathematik und der Naturwissenschaften. Sie drücken eine Beziehung zwischen einer abhängigen Größe (häufig ) und der Änderung dieser Größe () aus. Viele Gesetzmäßigkeiten in der Natur wie Bewegungsprozesse, Ablauf von chemischen Reaktionen, Wachstumsverhalten von Populationen werden durch Differentialgleichungen beschrieben. Hier besprechen wir nur solche Differentialgleichungen, die durch Integration gelöst werden können.



Definition  

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Dann nennt man

die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ).

Dabei ist erstmal nur ein formaler Ausdruck, dem wir aber sofort eine inhaltliche Interpretation geben. Das soll eine Funktion in einer Variablen repräsentieren und ihre Ableitung. Dies wird präzisiert durch den Begriff der Lösung einer Differentialgleichung.


Definition  

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

heißt eine Funktion

auf einem (mehrpunktigen) Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Die Funktion ist differenzierbar.
  3. Es ist für alle .

Statt Lösung sagt man auch Lösungsfunktion oder Lösungskurve.

Differentialgleichungen beschreiben häufig physikalische Prozesse, insbesondere Bewegungsprozesse. Daran soll auch die Notation erinnern, es steht für die Zeit und für den Ort. Dabei ist hier der Ort eindimensional, d.h. die Bewegung findet nur auf einer Geraden statt. Den Wert sollte man sich als eine zu einem Zeit- und Ortspunkt vorgegebene Richtung auf der Ortsgeraden vorstellen. Eine Lösung ist dann eine Funktion

die differenzierbar ist und deren Ableitung, vorgestellt als Momentangeschwindigkeit, zu jedem Zeitpunkt mit dem durch gegebenen Richtungsvektor übereinstimmt. Später werden wir auch Bewegungen betrachten, die sich in der Ebene oder im Raum abspielen, und die durch ein entsprechendes Richtungsfeld gesteuert werden.


Die Lösung einer Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht eindeutig, man muss noch Anfangsbedingungen festlegen.


Definition  

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .


Definition  

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

gilt.

Es gibt kein allgemeines Verfahren eine Differentialgleichung bzw. ein Anfangswertproblem explizit zu lösen. Die Lösbarkeit hängt wesentlich von der gegebenen Funktion ab.