Graduierte Algebren/D/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

$A=\underset{d\in D}{⨁}{A}_d$

mit $K$-Untervektorräumen $A_d$ derart gibt, dass  $K\subseteq A_0$  ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung

$A_d\cdot A_e\subseteq A_{d+e}$

gilt.

Bemerkung  

In einer $D$-graduierten $K$-Algebra besitzt jedes Element  $a\in A$  eine eindeutige Darstellung

$a=\sum _{d\in D}{a}_d\text{ mit }{a}_d\in A_d,$

wobei nur endlich viele der $a_d$ ungleich $0$ sein können. Die $a_d$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$, die $A_d$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$-te Stufe) und Elemente  $a\in A_d$  heißen homogen vom Grad $d$. Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall  $A_d=0$  ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a\in A_d$ und $b\in A_e$ die Produkte $ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_1,\dots ,X_n]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $K$. Dieser ist in naheliegender Weise $\mathbb{Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom $X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$ den Grad durch $k_1+k_2+\cdots +k_n$ und setzt $A_d$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $K$-Algebra entsteht. Es ist  $A_0=K$  und  $A_n=0$  für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.