Graduierte Algebren/D/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}D$ eine kommutative Gruppe. Eine ${}K$-Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

mit ${}K$-Untervektorräumen ${}A_{d}$ derart gibt, dass ${}K\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

gilt.

Bemerkung  

In einer ${}D$-graduierten ${}K$-Algebra besitzt jedes Element ${}a\in A$ eine eindeutige Darstellung

$a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$

wobei nur endlich viele der ${}a_{d}$ ungleich ${}0$ sein können. Die ${}a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von ${}a$, die ${}A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von ${}A$ (oder ${}d$-te Stufe) und Elemente ${}a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad ${}d$. Die Gruppe ${}D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall ${}A_{d}=0$ ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra ${}A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente ${}a\in A_{d}$ und ${}b\in A_{e}$ die Produkte ${}ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}K$. Dieser ist in naheliegender Weise ${}\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom ${}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch ${}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt ${}A_{d}$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad ${}d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte ${}K$-Algebra entsteht. Es ist ${}A_{0}=K$ und ${}A_{n}=0$ für negativen Grad ${}n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.