Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Textabschnitt

Die Klassifikation der einfachen Singularitäten in höheren Dimension ergibt sich aus dem ebenen Fall also aus Fakt, indem man die dortigen Funktionen um Summe von Quadraten ergänzt.

Satz

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, ${}n\geq 2$, eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.

Dann ist ${}f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.

1. $x^{k+1}+y^{2}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2}{\text{ mit }}\,k\geq 1,\,{\text{ Typ }}A_{k}.$

2. $x^{2}y+y^{k-1}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2}{\text{ mit }}\,k\geq 4,\,{\text{ Typ }}D_{k}.$

3. $x^{3}+y^{4}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2},\,{\text{ Typ }}E_{6}.$

4. $x^{3}+xy^{3}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2},\,{\text{ Typ }}E_{7}.$

5. $x^{3}+y^{5}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2},\,{\text{ Typ }}E_{8}.$

Beweis

Da es sich um eine einfache isolierte Singularität im Nullpunkt handeln soll, verschwinden alle partiellen Ableitungen von ${}f$ im Nullpunkt. Der Rang ${}k$ der Hesse-Matrix ist nach Fakt zumindest ${}n-2$. Nach Fakt ist ${}f$ rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form

${}g=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h\,$

mit ${}h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei ${}h$ nur von den Variablen ${}x_{n-1},x_{n}$ abhängt. Bei ${}n-1,n$ hängt ${}h$ sogar von weniger Variablen ab. In jedem Fall kann man ${}h$ in den beiden letzten Variablen und mit ${}h\in {\mathfrak {m}}^{2}$ schreiben. Jede Entfaltung ${}h_{t}$ von ${}h$ ergibt unmittelbar eine Entfaltung von ${}g$. Die dabei entstehenden (deformierten) Funktionen haben die Form ${}{\tilde {E}}(-,t)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$. Wegen der Einfachheit von ${}g$ treten dabei nur endlich viele Singularitätsklassen (im Sinne der Rechtsäquivalenz) auf, sagen wir ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$, ${}i\in I$, mit einer endlichen Indexmenge ${}I$. Für jedes ${}h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ gibt es somit ein ${}i\in I$ derart, dass ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent sind. Nach Fakt sind dann ${}h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und ${}h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent. Dies bedeutet, dass ${}h(x_{n-1},x_{n})$ ein einfacher Funktionskeim in zwei Variablen ist. Deren Rechtsäquivalenzklassen wurden in Fakt klassifiziert.

Wir müssen noch zeigen, dass die angegebenen Möglichkeiten wirklich einfach sind.

$\Box$

Für ${}n\geq 3$ handelt es sich dabei um irreduzible normale Singularitäten (bei ${}n=2$ sind ${}A_{k}$ für ${}k$ ungerade, ${}D_{k}$ und ${}E_{7}$ reduzibel).