Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann gelten für die Gauß-Abbildung folgende Aussagen.

1. Die Gauß-Abbildung ist stetig.
2. Bei ${}Y=S^{n-1}$ ist die Gauß-Abbildung (wenn die Orientierung nach außen zeigt) die Identität oder die antipodale Abbildung.
3. Wenn ${}Y$ zusammenhängend ist, so sind die Gauß-Abbildungen zu den beiden Orientierungen antipodal zueinander.
4. Sei ${}Y$ zusammenhängend. Dann ist die Gauß-Abbildung genau dann konstant, wenn ${}Y$ ein offener Ausschnitt aus einem affin-linearen Unterraum der Dimension ${}n-1$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen