Integrale längs Kreisrand/Reihen/Cauchy/Textabschnitt

Wir möchten zeigen, dass eine komplex differnzierbare Funktion in jedem Punkt durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Dazu werden wir die Integralformel von Cauchy dahingehend verallgemeinern, dass nicht nur der Wert von ${}f$ in ${}a$ durch ein den Punkt umlaufendes Wegintegral zu einer geeigneten Differentialform festgelegt ist, sondern auch die übrigen Koeffizienten in der Potenzreihe. Dies ergibt sich mit Hilfe der geometrischen Reihe.

Für ${}\vert {z}\vert <1$ besitzt die geometrische Reihe das Konvergenzverhalten

${}\sum _{i=0}^{\infty }z^{i}={\frac {1}{1-z}}\,.$

Wir schreiben die Integralformel von Cauchy als

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,,$

um zu betonen, dass wir an der Abhängigkeit von ${}f$ von ${}z$ interessiert sind. Den Integranden schreiben wir als

${}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {w}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}\,.$

Da in der Integralformel vorausgesetzt wird, dass ${}z$ im Innern des Kreises liegt und ${}w$ auf dem Rand, ist ${}\vert {\frac {z}{w}}\vert <1$ und daher kann man auf den zweiten Faktor des Integranden die Formel der geometrischen Reihe, also

${}{\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,$

anwenden, bzw.

${}{\frac {1}{w-z}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{w^{k+1}}}\,.$

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt.

Dann wird ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ durch die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,$

gegeben sind, und ${}\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um ${}a$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}a=0$. Nach der Integralformel gilt für jedes ${}z\in U$

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$

mit einem einfachen Umlaufweg

$\delta \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto z+re^{2\pi {\mathrm {i} }t},$

um ${}z$ in ${}U$. Nach Fakt gilt auch

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$

mit einem Umlaufweg um ${}0$ in ${}U$, wobei ${}B\left(0,r\right)\subseteq U$ gelten und ${}z$ im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als

${}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,.$

Hierbei ist ${}f(w)$ auf dem Kreis (bzw. ${}f{\left(re^{2\pi {\mathrm {i} }t}\right)}$ auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes ${}z$ absolut und (als Funktion in ${}w$) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Fakt (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist

${}{\begin{aligned}f(z)&=\int _{\gamma }{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$

Da dies für jedes ${}z$ im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von ${}z$ sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.

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