Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}V,\,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist.

   Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

   ${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

2. Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V_{1}$ offen und es sei

   $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

   $\left(D\varphi \right)_{P}$

   bijektiv ist.

   Dann gibt es eine offene Menge ${}U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ mit ${}P\in U_{1}$ und mit ${}\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

   $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

   induziert, und dass die Umkehrabbildung

   $(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

   ebenfalls stetig differenzierbar ist.

3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

   Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

4. Es sei ${}M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

   $f\colon M\longrightarrow M$

   eine

   stark kontrahierende Abbildung.

   Dann besitzt ${}f$ genau einen Fixpunkt.

Zur gelösten Aufgabe