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Integration auf Produktraum/Fubini/Textabschnitt

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Es seien und -endliche Maßräume und sei

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für jedes ist die Funktion

    und für jedes ist die Funktion

    messbar.

  2. Die Funktion
    und die Funktion

    sind messbar.

  3. Es gilt

(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen

für jedes .
(2) folgt aus Fakt angewendet auf

da der Subgraph von und ist.
(3). Nach Fakt, angewendet auf das Produkt , ist

Da man die Rollen von und vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.



Es seien und -endliche Maßräume und sei

eine messbare Funktion.

Dann ist genau dann integrierbar, wenn

endlich ist.

Die Integrierbarkeit von ist nach Fakt äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von bedeutet. Die Aussage folgt daher aus Fakt.


Wir kommen nun zum Satz von Fubini.


Es seien und -endliche Maßräume und sei

eine integrierbare Funktion.

Dann sind die beiden Funktionen

und

fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

Nach Voraussetzung und nach Fakt ist die Funktion integrierbar. Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge gibt mit für . Daher sind nach Fakt für die Integrale definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile und .

Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man durch ersetzen. Wir schreiben

und wenden auf die beiden Summanden Fakt an, sodass dies gleich

ist.