Es seien
(
M
,
A
,
μ
)
{\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}
und
(
N
,
B
,
ν
)
{\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )}
σ
{\displaystyle {}\sigma }
-endliche Maßräume und sei
f
:
M
×
N
⟶
R
¯
≥
0
{\displaystyle f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}
eine nichtnegative
messbare Funktion . Dann gelten folgende Aussagen.
Für jedes
x
∈
M
{\displaystyle {}x\in M}
ist die Funktion
N
⟶
R
¯
≥
0
,
y
⟼
f
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto f(x,y),}
und für jedes
y
∈
N
{\displaystyle {}y\in N}
ist die Funktion
M
⟶
R
¯
≥
0
,
x
⟼
f
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto f(x,y),}
messbar .
Die Funktion
N
⟶
R
¯
≥
0
,
y
⟼
∫
M
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
,
{\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),}
und die Funktion
M
⟶
R
¯
≥
0
,
x
⟼
∫
N
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
,
{\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),}
sind
messbar .
Es gilt
∫
M
×
N
f
d
(
μ
⊗
ν
)
=
∫
M
(
∫
N
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
)
d
μ
(
x
)
=
∫
N
(
∫
M
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
)
d
ν
(
y
)
.
{\displaystyle {}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,.}
(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
M
⟶
M
×
N
,
x
⟼
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),}
für jedes
y
∈
N
{\displaystyle {}y\in N}
.
(2) folgt aus
Fakt
angewendet auf
S
(
f
)
⊆
M
×
(
N
×
R
¯
)
,
{\displaystyle {}S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,}
da
(
S
(
f
)
)
(
x
)
{\displaystyle {}(S(f))(x)}
der Subgraph von
f
(
x
,
−
)
{\displaystyle {}f(x,-)}
und
∫
N
f
(
x
,
−
)
d
ν
=
ν
⊗
λ
1
(
S
(
f
)
(
x
)
)
{\displaystyle {}\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))}
ist.
(3). Nach
Fakt ,
angewendet auf das Produkt
M
×
(
N
×
R
¯
)
{\displaystyle {}M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})}
, ist
∫
M
×
N
f
d
(
μ
⊗
ν
)
=
(
μ
⊗
ν
⊗
λ
1
)
(
S
(
f
)
)
=
∫
M
(
ν
⊗
λ
1
)
(
(
S
(
f
)
)
(
x
)
)
d
μ
=
∫
M
(
∫
N
f
(
x
,
y
)
d
ν
)
d
μ
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}}
Da man die Rollen von
M
{\displaystyle {}M}
und
N
{\displaystyle {}N}
vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.
◻
{\displaystyle \Box }
Es seien
(
M
,
A
,
μ
)
{\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}
und
(
N
,
B
,
ν
)
{\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )}
σ
{\displaystyle {}\sigma }
-endliche Maßräume und sei
f
:
M
×
N
⟶
R
¯
{\displaystyle f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}
eine
messbare Funktion .
Dann ist
f
{\displaystyle {}f}
genau dann
integrierbar ,
wenn
∫
M
(
∫
N
|
f
(
x
,
y
)
|
d
ν
(
y
)
)
d
μ
(
x
)
oder
∫
N
(
∫
M
|
f
(
x
,
y
)
|
d
μ
(
x
)
)
d
ν
(
y
)
{\displaystyle \int _{M}{\left(\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x){\text{ oder }}\int _{N}{\left(\int _{M}\vert {f(x,y)}\vert \,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)}
endlich ist.
Wir kommen nun zum Satz von Fubini .
Es seien
(
M
,
A
,
μ
)
{\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}
und
(
N
,
B
,
ν
)
{\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )}
σ
{\displaystyle {}\sigma }
-endliche Maßräume und sei
f
:
M
×
N
⟶
R
¯
{\displaystyle f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}
eine
integrierbare Funktion .
Dann sind die beiden Funktionen
M
⟶
R
¯
,
x
⟼
∫
N
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
,
{\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),}
und
N
⟶
R
¯
,
y
⟼
∫
M
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
,
{\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),}
fast überall
reellwertig und fast überall
integrierbar ,
und es gilt
∫
M
×
N
f
d
(
μ
⊗
ν
)
=
∫
M
(
∫
N
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
)
d
μ
(
x
)
=
∫
N
(
∫
M
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
)
d
ν
(
y
)
{\displaystyle {}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,}
Nach Voraussetzung und nach
Fakt
ist die Funktion
x
↦
∫
N
|
f
(
x
,
y
)
|
d
ν
(
y
)
{\displaystyle {}x\mapsto \int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)}
integrierbar .
Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral
∫
N
|
f
(
x
,
y
)
|
d
ν
(
y
)
{\displaystyle {}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)}
fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine
Nullmenge
Z
⊆
M
{\displaystyle {}Z\subseteq M}
gibt mit
∫
N
|
f
(
x
,
y
)
|
d
ν
(
y
)
<
∞
{\displaystyle {}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)<\infty }
für
x
∉
Z
{\displaystyle {}x\notin Z}
.
Daher sind
nach Fakt
für
x
∉
Z
{\displaystyle {}x\notin Z}
die Integrale
∫
N
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
{\displaystyle {}\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)}
definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile
f
+
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}f_{+}(x,y)}
und
f
−
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}f_{-}(x,y)}
.
Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da
Z
×
N
{\displaystyle {}Z\times N}
eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man
M
{\displaystyle {}M}
durch
M
∖
Z
{\displaystyle {}M\setminus Z}
ersetzen.
Wir schreiben
∫
M
×
N
f
d
(
μ
⊗
ν
)
=
∫
M
×
N
(
f
+
−
f
−
)
d
(
μ
⊗
ν
)
=
∫
M
×
N
f
+
d
(
μ
⊗
ν
)
−
∫
M
×
N
f
−
d
(
μ
⊗
ν
)
{\displaystyle \int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}(f_{+}-f_{-})\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}f_{+}\,d(\mu \otimes \nu )-\int _{M\times N}f_{-}\,d(\mu \otimes \nu )\,}
und wenden auf die beiden Summanden
Fakt
an, sodass dies gleich
=
∫
M
(
∫
N
f
+
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
)
d
μ
(
x
)
−
∫
M
(
∫
N
f
−
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
)
d
μ
(
x
)
=
∫
M
(
∫
N
(
f
+
(
x
,
y
)
−
f
−
(
x
,
y
)
)
d
ν
(
y
)
)
d
μ
(
x
)
=
∫
M
(
∫
N
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&=\int _{M}{\left(\int _{N}f_{+}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)-\int _{M}{\left(\int _{N}f_{-}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}(f_{+}(x,y)-f_{-}(x,y))\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\end{aligned}}}
ist.
◻
{\displaystyle \Box }