Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Beschreibung des Quotienten/Textabschnitt

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Es sei ein kommutativer Ring, eine endliche Gruppe, die auf und damit auch auf als Gruppe von Automorphismen operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten und andererseits den Invariantenring und damit dessen Spektrum . Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass

gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die Spektrumsabbildung

(die zur Inklusion gehört) die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt.



Korollar  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist die Spektrumsabbildung

surjektiv und abgeschlossen.

Insbesondere trägt die Bildtopologie unter dieser Abbildung.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.





Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann gilt für die Äquivalenz: genau dann, wenn es ein mit gibt.

Das heißt, dass die Bahnen der Operation von auf mit den Fasern von übereinstimmen.

Beweis  

Wenn ist und , so ist auch , also ist

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über und es sei ein Element dieser Faser, welches es nach Fakt gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal der Faser in der Bahn durch liegt, dass es also ein mit gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ein Primideal der Faser, das aber nicht zur Bahn gehört. Aus (für alle ) folgt , da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Fakt nicht nulldimensional wäre. Nach Fakt ist dann auch

Sei , . Die Menge wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch . Somit ist auch . Andererseits ist aber und , also .




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist der Quotient der Gruppenoperation von auf .

Beweis  

Die Abbildung

ist nach Fakt surjektiv, so dass nach Fakt die Punkte aus den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist ein mengentheoretischer Quotient. Nach Fakt trägt die Bildtopologie, so dass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.