Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Beschreibung des Quotienten/Textabschnitt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf ${}R$ und damit auch auf ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ als Gruppe von Automorphismen operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten ${}X/G$ und andererseits den Invariantenring ${}R^{G}$ und damit dessen Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$. Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass

${}X/G=\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}\,$

gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die Spektrumsabbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

(die zur Inklusion ${}R^{G}\subseteq R$ gehört) die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

surjektiv und abgeschlossen.

Insbesondere trägt ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ die Bildtopologie unter dieser Abbildung.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann gilt für ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Äquivalenz: ${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})$ genau dann, wenn es ein ${}\sigma \in G$ mit ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.

Das heißt, dass die Bahnen der Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit den Fasern von ${}\iota ^{*}$ übereinstimmen.

Beweis

Wenn ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ ist und ${}f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}$, so ist auch ${}f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}$, also ist

${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.$

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über ${}{\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Element dieser Faser, welches es nach Fakt gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ der Faser in der Bahn durch ${}{\mathfrak {p}}$ liegt, dass es also ein ${}\sigma \in G$ mit ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal der Faser über ${}{\mathfrak {r}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${}{\mathfrak {q}}$ gehört. Aus ${}{\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$ (für alle ${}\sigma \in G$) folgt ${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$, da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Fakt nicht nulldimensional wäre. Nach Fakt ist dann auch

${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.$

Sei ${}f\in {\mathfrak {q}}$, ${}f\notin T$. Die Menge ${}T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch ${}f\sigma \notin T$. Somit ist auch ${}g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$. Andererseits ist aber ${}g\in R^{G}$ und ${}g\in {\mathfrak {q}}$, also ergibt sich der Widerspruch ${}g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)},\iota ^{*}\right)}$ der Quotient der Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

Beweis

Die Abbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

ist nach Fakt surjektiv, so dass nach Fakt die Punkte aus ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ ein mengentheoretischer Quotient. Nach Fakt trägt ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ die Bildtopologie, so dass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.

$\Box$