Körpererweiterung/Diskriminante/Zahlentheoretisch orientiert/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch

definiert.

Die Produkte , , sind dabei Elemente in , von denen man jeweils die Spur nimmt, die in liegt. Man erhält also eine quadratische -Matrix über . Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, so dass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.

Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.



Lemma  

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien und -Basen von . Der Basiswechsel werde durch mit der Übergangsmatrix beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

Beweis  

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen . Damit gilt

Wir schreiben und . Wegen der -Linearität der Spur gilt

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen , und als

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.




Lemma  

Es sei eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine -Basis von . Dann ist

Beweis  

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik .

Sei angenommen, dass die Diskriminante ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung besitzt. Es ist also

für alle . Sei . Dann ist für jedes

Da eine Einheit in ist, ist auch , , eine -Basis von und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik folgt dies sofort aus Fakt  (2).