Körpererweiterung/Diskriminante/Zahlentheoretisch orientiert/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in ${}L$. Dann wird die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$

definiert.

Die Produkte ${}b_{i}b_{j}$, ${}1\leq i,j\leq n$, sind dabei Elemente in ${}L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in ${}K$ liegt. Man erhält also eine quadratische ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.

Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}c_{1},\ldots ,c_{n}$ ${}K$-Basen von ${}L$. Der Basiswechsel werde durch ${}c=Tb$ mit der Übergangsmatrix ${}T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen ${}c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$. Damit gilt

${}c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$

Wir schreiben ${}c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$ und ${}b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$. Wegen der ${}K$-Linearität der Spur gilt

${}c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen ${}C={\left(c_{ik}\right)}$, ${}B={\left(b_{jm}\right)}$ und ${}T={\left(t_{ij}\right)}$ als

${}C=T^{\rm {transp}}BT\,$

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.

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Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine ${}K$-Basis von ${}L$. Dann ist

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$

Beweis

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik ${}0$.

Es sei angenommen, dass die Diskriminante ${}0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix ${}S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung ${}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in K^{n}$ besitzt. Es ist also

${}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$

für alle ${}j$. Sei ${}x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes ${}j$

${}S(xb_{j})=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,.$

Da ${}x$ eine Einheit in ${}L$ ist, ist auch ${}xb_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, eine ${}K$-Basis von ${}L$ und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert ${}0$ hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik ${}0$ folgt dies sofort aus Fakt  (2).

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