Körpererweiterung/Etale und separabel/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei zunächst separabel und . Das Minimalpolynom von ist separabel, daher ist nach Fakt . Somit folgt aus

dass

ist.
Sei nun umgekehrt vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss und müssen zeigen.  Wir nehmen an, dass ist. Dann gibt es eine Kette

wobei wir annehmen können. Da nach Fakt  (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von über gleich mit und mit . Also ist und daher ist

nach

Fakt. Daher ist auch aufgrund von Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage