Körpererweiterung/Etale und separabel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst  ${}K\subseteq L$  separabel und  ${}x\in L$.  Das Minimalpolynom  ${}F\in K[X]$  von ${}x$ ist separabel, daher ist nach Fakt  ${}F'(x)\neq 0$.  Somit folgt aus

${}0=dF(x)=F'(x)dx\,,$

dass

${}dx=0\,$

ist.
Es sei nun umgekehrt  ${}\Omega _{L{|}K}=0$  vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss  ${}K\subseteq S\subseteq L$  und müssen  ${}S=L$  zeigen.  Wir nehmen an, dass  ${}S\neq L$  ist. Dann gibt es eine Kette

${}S\subseteq S(x_{1})\subseteq S(x_{1},x_{2})\subseteq \ldots \subseteq S(x_{1},\ldots ,x_{n})=L\,,$

wobei wir  ${}M=S(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\neq L$  annehmen können. Da  ${}S\subseteq L$  nach Fakt  (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch  ${}M\subseteq L=M(x_{n})$  rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von ${}x_{n}$ über ${}M$ gleich ${}X^{q}-a$ mit  ${}a\in M$  und  ${}q=p^{e}$  mit  ${}e\geq 1$.  Also ist  ${}L=M[X]/(X^{q}-a)$  und daher ist

${}\Omega _{L{|}M}\cong LdX/(X^{q}-a)'dX\cong LdX\neq 0\,$

nach Fakt. Daher ist auch  ${}\Omega _{L{|}K}\neq 0$  aufgrund von Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage