Körpererweiterung/Etale und separabel/Fakt/Beweis
Zur Navigation springen
Zur Suche springen
Beweis
Es sei zunächst separabel und . Das Minimalpolynom von ist separabel, daher ist nach Fakt . Somit folgt aus
dass
ist.
Es sei nun umgekehrt
vorausgesetzt. Wir verwenden den
separablen Abschluss
und müssen
zeigen. Wir nehmen an, dass
ist. Dann gibt es eine Kette
wobei wir annehmen können. Da nach Fakt (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von über gleich mit und mit . Also ist und daher ist
nach
Fakt.
Daher ist auch
aufgrund von
Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.