Kegelschnitte und Quadriken/Einführung/Textabschnitt

Der Standardkegel im dreidimensionalen affinen Raum ist durch die homogene Gleichung

${}Z^{2}=X^{2}+Y^{2}\,$

gegeben. Das kann man sich so vorstellen, dass ${}z$ den Radius eines Kreises vorgibt, der in der zur ${}x-y$-Ebene parallelen Ebene durch den Punkt ${}(0,0,z)$ liegt. Jeden Schnitt dieses Kegels mit einer affinen Ebenen ${}E$ nennt man einen Kegelschnitt.

Definition

Ein Kegelschnitt ${}C$ ist der Durchschnitt des Standardkegels ${}V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ mit einer affinen Ebene ${}V(aX+bY+cZ+d)$ (nicht alle $a,b,c=0$), also

${}C=V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\cap V(aX+bY+cZ+d)\,.$

Die Theorie der Kegelschnitte ist ein klassisches Thema, über das schon Apollonios von Perge eine Arbeit geschrieben hat. Da die Ebene durch eine Gleichung ${}aX+bY+cZ+d=0$ gegeben wird, kann man nach einer Variablen linear auflösen und erhält eine neue Gleichung in zwei Variablen für den Kegelschnitt. Dies ist eine affin-lineare Variablensubstitution, daher hat die neue Gleichung ebenfalls den Grad zwei.

Wie betrachten daher generell affine Quadriken in zwei Variablen.

Definition

Ein Polynom der Form

$F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta {\text{ mit }}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\eta \in K,$

wobei mindestens einer der Koeffizienten ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ ungleich null ist, heißt eine quadratische Form in zwei Variablen (über ${}K$) oder eine Quadrik in zwei Variablen. Das zugehörige Nullstellengebilde

${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

nennt man ebenfalls Quadrik.

Wir interessieren uns dafür, wie viele verschiedene Typen von Quadriken es gibt. Die Antwort hängt vom Grundkörper ab. Darüber hinaus muss man festlegen, welchen Äquivalenzbegriff man jeweils verwenden möchte. Zu zwei Quadriken

$F,G\in K[X,Y]$

sind die folgenden Äquivalenzbegriffe untersuchenswert.

• ${}F$ und ${}G$ sind als Polynome affin äquivalent, d.h. es gibt eine

(bijektive) affin-lineare Variablentransformation

$\varphi :K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y],\,X\longmapsto rX+sY+t,Y\longmapsto {\tilde {r}}X+{\tilde {s}}Y+{\tilde {t}},$

derart, dass ${}G=\varphi (F)$ ist.

• Die Hauptideale

${}(F)$ und ${}(G)$ sind affin äquivalent, d.h. es gibt eine (bijektive) affin-lineare Variablentransformation ${}\varphi$ derart, dass ${}G=\varphi (F)$ ist.

• Die Restklassenringe

$K[X,Y]/(F){\text{ und }}K[X,Y]/(G)$

sind als ${}K$-Algebren isomorph.

• Die Nullstellenmengen

${}V(F)$ und ${}V(G)$ sind affin-linear äquivalent.

Der erste Äquivalenzbegriff ist stärker als der zweite, und der zweite ist stärker als die beiden letzten. Ein wesentlicher Unterschied zwischen ${}(1)$ und ${}(2)$ ist, dass man bei ${}(2)$ immer mit einer Einheit multiplizieren darf (das ändert auch nicht das Nullstellengebilde). Über einem Körper, der nicht algebraisch abgeschlossen ist, kann die Äquivalenz in ${}(4)$ sehr grob sein, da alle ${}F$ mit leerem Nullstellengebilde im Sinne von ${}(4)$ äquivalent sind.

Bei ${}K=\mathbb {R}$ und ${}K={\mathbb {C} }$ interessiert man sich auch dafür, ob topologische Eigenschaften der zugehörigen Nullstellengebilde übereinstimmen. Wir werden hier für zwei Quadriken ${}F$ und ${}G$ die verschiedenen Äquivalenzbegriffe parallel betrachten, aber vor allem an ${}(2)$ interessiert sein.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Es sei

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

eine Quadrik.

Dann gibt es eine Variablentransformation der affinen Ebene derart, dass das transformierte Polynom in den neuen Variablen die Form

$G=\gamma Y^{2}+H(X)\,{\text{ mit }}H(X)=aX^{2}+bX+c$

hat.

Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kann man (durch eine Variablentransformation) ${}\gamma =1$ erreichen.

Wenn man sich für das erzeugte Ideal bzw. das Nullstellengebilde interessiert, so kann man (durch Division) ebenfalls ${}\gamma =1$ erreichen.

Beweis

Zunächst reduzieren wir auf den Fall, wo ${}\gamma \neq 0$ ist. Bei ${}\gamma =0$ und ${}\alpha \neq 0$ kann man ${}X$ und ${}Y$ vertauschen. Bei ${}\alpha =\gamma =0$ muss ${}\beta \neq 0$ sein. Dann kann man durch ${}X\mapsto X+Y,\,Y\mapsto Y$ erreichen, dass der Koeffizient von ${}Y^{2}$ nicht null ist. Es sei also im Folgenden ${}\gamma \neq 0$.

Wir schreiben die Gleichung als

$\gamma Y^{2}+(\beta X+\epsilon )Y+{\tilde {H}}(X),$

wobei ${}{\tilde {H}}$ ein Polynom in ${}X$ vom Grad ${}\leq 2$ ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man das als

$\gamma \left(Y+{\frac {\beta X+\epsilon }{2\gamma }}\right)^{2}+{\tilde {H}}(X)-{\frac {(\beta X+\epsilon )^{2}}{4\gamma }}$

schreiben. In den neuen Variablen ${}Y+(\beta X+\epsilon )/2\gamma$ und ${}X$ schreibt sich die Gleichung als

$G=\gamma Y^{2}+H(X)\,{\text{ mit }}H(X)=aX^{2}+bX+c.$

Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen besitzt ${}\gamma$ eine Quadratwurzel, sodass man durch ${}Y\mapsto Y/{\sqrt {\gamma }}$ den Koeffizient zu ${}1$ machen kann. Der andere Zusatz ist klar.

$\Box$