Kegelschnitte und Quadriken/Einführung/Textabschnitt

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DoubleCone.png


Der Standardkegel im dreidimensionalen affinen Raum ist durch die homogene Gleichung

gegeben. Das kann man sich so vorstellen, dass den Radius eines Kreises vorgibt, der in der zur -Ebene parallelen Ebene durch den Punkt liegt. Jeden Schnitt dieses Kegels mit einer affinen Ebenen nennt man einen Kegelschnitt.

Conic sections.svg



Definition  

Ein Kegelschnitt ist der Durchschnitt des Standardkegels mit einer affinen Ebene (nicht alle ), also

Die Theorie der Kegelschnitte ist ein klassisches Thema, über das schon Apollonios von Perge eine Arbeit geschrieben hat. Da die Ebene durch eine Gleichung gegeben wird, kann man nach einer Variablen linear auflösen und erhält eine neue Gleichung in zwei Variablen für den Kegelschnitt. Dies ist eine affin-lineare Variablensubstitution, daher hat die neue Gleichung ebenfalls den Grad zwei.

Wie betrachten daher generell affine Quadriken in zwei Variablen.


Definition  

Ein Polynom der Form

wobei mindestens einer der Koeffizienten ungleich null ist, heißt eine quadratische Form in zwei Variablen (über ) oder eine Quadrik in zwei Variablen. Das zugehörige Nullstellengebilde

nennt man ebenfalls Quadrik.

Wir interessieren uns dafür, wie viele verschiedene Typen von Quadriken es gibt. Die Antwort hängt vom Grundkörper ab. Darüber hinaus muss man festlegen, welchen Äquivalenzbegriff man jeweils verwenden möchte. Zu zwei Quadriken

sind die folgenden Äquivalenzbegriffe untersuchenswert.

    • und sind als Polynome affin äquivalent, d.h. es gibt eine

    (bijektive) affin-lineare Variablentransformation

    derart, dass ist.

    • Die Hauptideale

    und sind affin äquivalent, d.h. es gibt eine (bijektive) affin-lineare Variablentransformation derart, dass ist.

    • Die Restklassenringe

    sind als -Algebren isomorph.

    • Die Nullstellenmengen

    und sind affin-linear äquivalent.

    Der erste Äquivalenzbegriff ist stärker als der zweite, und der zweite ist stärker als die beiden letzten. Ein wesentlicher Unterschied zwischen und ist, dass man bei immer mit einer Einheit multiplizieren darf (das ändert auch nicht das Nullstellengebilde). Über einem Körper, der nicht algebraisch abgeschlossen ist, kann die Äquivalenz in sehr grob sein, da alle mit leerem Nullstellengebilde im Sinne von äquivalent sind.

    Bei und interessiert man sich auch dafür, ob topologische Eigenschaften der zugehörigen Nullstellengebilde übereinstimmen. Wir werden hier für zwei Quadriken und die verschiedenen Äquivalenzbegriffe parallel betrachten, aber vor allem an interessiert sein.



    Lemma  

    Sei ein Körper der Charakteristik . Es sei

    eine Quadrik.

    Dann gibt es eine Variablentransformation der affinen Ebene derart, dass das transformierte Polynom in den neuen Variablen die Form

    hat.

    Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kann man (durch eine Variablentransformation) erreichen.

    Wenn man sich für das erzeugte Ideal bzw. das Nullstellengebilde interessiert, so kann man (durch Division) ebenfalls erreichen.

    Beweis  

    Zunächst reduzieren wir auf den Fall, wo ist. Bei und kann man und vertauschen. Bei muss sein. Dann kann man durch erreichen, dass der Koeffizient von nicht null ist. Sei also im Folgenden .

    Wir schreiben die Gleichung als

    wobei ein Polynom in vom Grad ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man das als

    schreiben. In den neuen Variablen und schreibt sich die Gleichung als

    Bei algebraisch abgeschlossen besitzt eine Quadratwurzel, so dass man durch den Koeffizient zu machen kann. Der andere Zusatz ist klar.