Kommutative Algebra/Flacher Modul/Einführung/Textabschnitt

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Zu einer exakten Sequenz von -Moduln

und einem weiteren -Modul ist nach Fakt auch die tensorierte Sequenz

exakt. Allerdings ist zu einer injektiven Abbildung (man denke beispielsweise an die Situation einer kurzen exakten Sequenz, bei der oben noch eine links steht) die tensorierte Abbildung

im Allgemeinen nicht injektiv. Wenn beispielsweise ein Nichtnullteiler ist, so ist die Multiplikationsabbildung

injektiv. Für den zu einem Ideal mit gehörenden Restklassenring

ist aber die tensorierte Abbildung

die Nullabbildung, da ja in ist. Diese ist nicht (mit der einzigen Ausnahme bei ) injektiv.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt flach, wenn die Tensorierung mit die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.

Ein freier Modul ist flach, siehe Aufgabe. Restklassenmoduln sind typischerweise nicht flach.



Lemma

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System.

Dann ist der -Modul flach.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Insbesondere ist eine Lokalisierung an einem Primideal und der Quotientenkörper zu einem Integritätsbereich flach.