Kommutative Gruppe/Tate-Modul/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}\ell$ eine Primzahl. Die Torsionsuntergruppen ${}G[\ell ^{n}]$ zur Ordnung ${}\ell ^{n}$ stehen zueinander in der Beziehung

$G[\ell ^{n+1}]\longrightarrow G[\ell ^{n}],\,g\longmapsto \ell g,$

da ja aus

${}\ell ^{n+1}g=\ell ^{n}(\ell g)\,$

folgt, dass ein Element der Ordnung ${}\ell ^{n+1}$ unter Multiplikation mit ${}\ell$ auf ein Element der Ordnung ${}\ell ^{n}$ abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System

$G[\ell ^{n+1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{n}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{n-1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{2}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{0}]=\{0\}$

vor. Über dieses System kann man den projektiven Limes bilden. Er besteht aus Folgen ${}{\left(g_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}g_{n}\in G[\ell ^{n}]$ und mit ${}\ell g_{n+1}=g_{n}$. Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem ${}\ell ^{n}$ auch Torsionselemente gibt.

Definition

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}\ell$ eine Primzahl. Unter dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul von ${}G$ versteht man die Gruppe

${}T_{\ell }(G)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }G[\ell ^{n}]\,,$

wobei ${}G[\ell ^{n}]$ die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}\ell ^{n}$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ kommutative Gruppen und sei ${}\ell$ eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ induziert einen Homomorphismus

   $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(G)\longrightarrow T_{\ell }(H)$

   der zugehörigen ${}\ell$-adischen Tate-Moduln.

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{}{\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{}{\left(T_{\ell }(G),T_{\ell }(H)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   $\operatorname {End} _{}{\left(G\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(T_{\ell }(G)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes von ${}G$ in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ liegt ein Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G[\ell ^{n}]\longrightarrow H[\ell ^{n}]$

vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}G[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&G[\ell ^{n}]&\\\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\H[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}&H[\ell ^{n}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.

$\Box$

Nach Aufgabe ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$ von ${}\mathbb {Z} _{(\ell )}$ und der Homomorphismus aus Fakt  (1) ist ein ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$-Modulhomomorphismus.