Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Proposition

Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist noethersch.
2. Jede aufsteigende Idealkette

   ${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

   wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit  ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$. 

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Es sei

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

eine aufsteigende Idealkette in ${}R$. Wir betrachten die Vereinigung

${}{\mathfrak {a}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\,,$

die wieder ein Ideal in ${}R$ ist. Da ${}R$ noethersch ist, ist ${}{\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt, d.h.  ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{k})$.  Da diese ${}f_{i}$ in der Vereinigung der Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein ${}n$ derart geben, dass  ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{n}$  liegt. Wegen

${}(f_{1},\ldots ,f_{k})\subseteq {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+m}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq (f_{1},\ldots ,f_{k})\,$

für  ${}m\geq 0$  muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab ${}n$ stationär ist.

(2) ${}\Rightarrow$ (1). Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$. Wir nehmen an, ${}{\mathfrak {a}}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette  ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subset {\mathfrak {a}}$,  wobei die ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}\,$

bereits konstruiert. Da ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ endlich erzeugt ist, aber ${}{\mathfrak {a}}$ nicht, ist die Inklusion  ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$  echt und es gibt ein Element ${}f_{n+1}\in {\mathfrak {a}}$, ${}f_{n+1}\not \in {\mathfrak {a}}_{n}$. Dann setzt das Ideal  ${}{\mathfrak {a}}_{n+1}:={\mathfrak {a}}_{n}+(f_{n+1})$  die Idealkette echt aufsteigend fort.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {b}}$ noethersch.

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$  ein Ideal und sei  ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$  das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also  ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$.  Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${}{\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$: Für ein Element  ${}{\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$  gilt ja  ${}g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$  in ${}R$ und damit  ${}{\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$  in ${}R/{\mathfrak {b}}$.

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