Kommutativer Ring/Modul/Global und lokal/Test/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Es ist .
  2. Es ist für jedes Primideal .
  3. Es ist für jedes maximale Ideal .

Beweis  

Die einzige Implikation, die nicht direkt klar ist, ist die von (3) nach (1). Sei und ein von verschiedenes Element. Dann ist der Annullator nicht das Einheitsideal und nach Fakt gibt es ein maximales Ideal

Dann ist , da es andernfalls ein mit geben würde.










Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und seien und Moduln über und ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist surjektiv.
  2. Es ist surjektiv für jedes Primideal .
  3. Es ist surjektiv für jedes maximale Ideal .

Beweis  




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und seien und Moduln über und ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist injektiv.
  2. Es ist injektiv für jedes Primideal .
  3. Es ist injektiv für jedes maximale Ideal .

Beweis