Kommutativer Ring/Modul/Global und lokal/Test/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist  ${}M=0$. 
2. Es ist  ${}M_{\mathfrak {p}}=0$  für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist  ${}M_{\mathfrak {m}}=0$  für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Die einzige Implikation, die nicht direkt klar ist, ist die von (3) nach (1). Sei  ${}M\neq 0$  und  ${}v\in M$  ein von ${}0$ verschiedenes Element. Dann ist der Annullator ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ nicht das Einheitsideal und nach Fakt gibt es ein maximales Ideal

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$

Dann ist  ${}M_{\mathfrak {m}}\neq 0$,  da es andernfalls ein  ${}s\notin {\mathfrak {m}}$  mit  ${}sv=0$  geben würde.

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Lemma

Modul/Untermoduln/Lokaler Test/Fakt

Beweis

Modul/Untermoduln/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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Lemma

Komplex/Exaktheit/Lokaler Test/Fakt

Beweis

Komplex/Exaktheit/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist surjektiv.
2. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ surjektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Modul/Homomorphismus/Surjektiv/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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Bemerkung  

In der Situation von Fakt sei eine Überdeckung

${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=\bigcup _{i=1}^{n}D{\left(f_{i}\right)}\,$

gegeben, die ${}f_{i}$ erzeugen also das Einheitsideal. Es sei  ${}n\in N$  und es seien auf den ${}D{\left(f_{i}\right)}$ Urbilder gegeben, und zwar sei

${}\varphi {\left({\frac {m_{i}}{f_{i}^{r_{i}}}}\right)}=n\,$

in ${}N_{f_{i}}$. Dies bedeutet, dass es Exponenten ${}s_{i}$ gibt mit

${}f_{i}^{s_{i}}\varphi {\left(m_{i}\right)}=f_{i}^{r_{i}+s_{i}}n\,.$

Es sei

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{r_{i}+s_{i}}=1\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{s_{i}}m_{i}\right)}&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{s_{i}}\varphi {\left(m_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{r_{i}+s_{i}}n\\&=n,\end{aligned}}$

es ist also ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{s_{i}}m_{i}$ ein Urbild von ${}n$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist injektiv.
2. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ injektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Modul/Homomorphismus/Injektiv/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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