Kommutativer Ring/Modul/Global und lokal/Test/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}M=0$.
2. Es ist ${}M_{\mathfrak {p}}=0$ für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}M_{\mathfrak {m}}=0$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Die einzige Implikation, die nicht direkt klar ist, ist die von (3) nach (1). Sei ${}M\neq 0$ und ${}v\in M$ ein von ${}0$ verschiedenes Element. Dann ist der Annullator ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ nicht das Einheitsideal und nach Fakt gibt es ein maximales Ideal

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$

Dann ist ${}M_{\mathfrak {m}}\neq 0$, da es andernfalls ein ${}s\notin {\mathfrak {m}}$ mit ${}sv=0$ geben würde.

$\Box$

Lemma

Modul/Untermoduln/Lokaler Test/Fakt

Beweis

Modul/Untermoduln/Lokaler Test/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Komplex/Exaktheit/Lokaler Test/Fakt

Beweis

Komplex/Exaktheit/Lokaler Test/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist surjektiv.
2. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ surjektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Modul/Homomorphismus/Surjektiv/Lokaler Test/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist injektiv.
2. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ injektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Modul/Homomorphismus/Injektiv/Lokaler Test/Fakt/Beweis

$\Box$