Komplexe Potenzreihen/Rechenregeln/Textabschnitt
Erscheinungsbild
Es sei
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei .
Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf übereinstimmen.
Die Koeffizienten von sind
und insbesondere ist
Zur Notationsvereinfachung sei , und . Wir betrachten die Familie
summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe)
und daraus, dass wegen
gemäß
Fakt
die rechte Seite für beliebiges beschränkt ist.
Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des
großen Umordnungssatzes
die Gleichungen