Komplexe Potenzreihen/Rechenregeln/Textabschnitt

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Satz  

Es sei

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei .

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf übereinstimmen.

Die Koeffizienten von sind

und insbesondere ist

Beweis  

Zur Notationsvereinfachung sei , und . Wir betrachten die Familie

 Wir zeigen zuerst, dass diese Familie

summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe)

und daraus, dass wegen gemäß Fakt die rechte Seite für beliebiges beschränkt ist.
Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen