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Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Maximumsprinzip/Textabschnitt

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Es sei ein abgeschlossener Ball und sei eine stetige Funktion, die in holomorph sei.

Dann gilt für den Weg

die Gleichheit

Die erste Gleichung ist die Integralformel von Cauchy. Mit dem angegebenen Weg ist und damit ist


Diese Aussage wird insbesondere auf holomorphe Funktionen und abgeschlossene Kreisscheiben angewendet, wo die Holomorphie sichert, dass die Funktion auf dem Rand stetig ist. Der folgende Satz heißt Maximumsprinzip.


Es sei ein Gebiet und sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt mit

für alle .

Dann ist konstant.

Wir zeigen, dass in einer offenen Kreisscheibenumgebung von konstant ist und daher wegen Fakt überhaupt konstant ist. Es sei

Mit Fakt ist dann

daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere

wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe der Integrand bereits konstant gleich . Dies gilt auch für jeden Radius , und daher ist überhaupt in einer offenen Umgebung von . Aus Fakt ergibt sich, dass selbst in der Umgebung konstant ist.



Es sei offen eine holomorphe Funktion und .

Dann wird das Maximum von auf auf dem Rand von angenommen.

Wegen der Kompaktheit der abgeschlossenen Kreisscheibe nimmt die stetige Funktion nach Fakt ihr Maximum an, sagen wir im Punkt . Nach Fakt kann dieser Punkt (außer bei konstant) nicht auf der offenen Kreisscheibe, sondern muss auf dem Rand liegen.