Konstruierbare Einheitswurzeln/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Man sagt, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$

eine konstruierbare Zahl ist.

Die Menge der komplexen Einheitswurzeln ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }k}{n}}$, ${}k=0,\ldots ,n-1$, bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen ${}n$-Ecks, wobei ${}1$ eine Ecke bildet. Alle Eckpunkte liegen auf dem Einheitskreis. Die Ecke ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ ist eine primitive Einheitswurzel; wenn diese mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, so sind auch alle weiteren Eckpunkte konstruierbar, da diese ja Potenzen der primitiven Einheitswurzel sind. Das reguläre ${}n$-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn der ${}n$-te Kreisteilungskörper ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist.

Bei ${}n=1,2$ kann man sich darüber streiten, ob man von einem regelmäßigen ${}n$-Eck sprechen soll, jedenfalls gibt es die zugehörigen Einheitswurzeln und diese sind aus ${}\mathbb {Q}$, also erst recht konstruierbar. Das regelmäßige Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck und dieses ist konstruierbar nach Fakt, da der dritte Kreisteilungskörper eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist und die Menge der konstruierbaren Zahlen nach Fakt unter quadratischen Körpererweiterungen abgeschlossen ist.

(man kann einfacher auch direkt zeigen, dass ein gleichseitiges Dreieck aus seiner Grundseite heraus konstruierbar ist). Das regelmäßige Viereck ist ein Quadrat mit den Eckpunkten ${}1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$, und dieses ist ebenfalls konstruierbar. Das regelmäßige Fünfeck ist ebenfalls konstruierbar, wie in Beispiel in Verbindung mit Fakt bzw. in Aufgabe gezeigt wurde. Wir werden im Folgenden sowohl positive als auch negative Resultate zur Konstruierbarkeit von regelmäßigen ${}n$-Ecken vorstellen. Zunächst untersuchen wir den Zusammenhang zwischen der Konstruierbarkeit des ${}n$-Ecks und der Konstruierbarkeit des ${}k$-Ecks, wenn ${}k$ ein Teiler von ${}n$ ist. In diesem Fall lässt sich das regelmßige ${}k$-Eck in das regelmäßige ${}n$-Eck einschreiben.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Lemma

Sei ${}m=kn$, ${}m,k,n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das regelmäßige ${}2^{r}$-Eck, ${}r\in \mathbb {N}$, ist konstruierbar.
2. Wenn das regelmäßige ${}m$-Eck konstruierbar ist, so sind auch das regelmäßige ${}n$-Eck und das regelmäßige ${}k$-Eck konstruierbar.
3. Wenn ${}n$ und ${}k$ teilerfremd sind und wenn das regelmäßige ${}n$-Eck und das regelmäßige ${}k$-Eck konstruierbar sind, so ist auch das regelmäßige ${}m$-Eck konstruierbar.

Beweis

(1) folgt daraus, dass eine Winkelhalbierung stets mit Zirkel und Lineal durchführbar ist.
(2). Nach Voraussetzung ist ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{nk}}$ konstruierbar. Dann ist auch nach Fakt die Potenz

${}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{nk}}\right)}^{n}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{k}}\,$

konstruierbar.
(3). Es seien nun ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ und ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{k}}$ konstruierbar und ${}n$ und ${}k$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es dann ganze Zahlen ${}r,s$ mit ${}rn+sk=1$. Daher ist auch

${}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}\right)}^{s}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{k}}\right)}^{r}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }k}{nk}}\right)}^{s}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }n}{nk}}\right)}^{r}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }sk}{nk}}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }rn}{nk}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }(sk+rn)}{nk}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{nk}}\,$

konstruierbar.

$\Box$

Aus diesem Lemma kann man in Zusammenhang mit den oben erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten folgern, dass die regelmäßigen ${}3\cdot 2^{r}$-Ecke, die regelmäßigen ${}5\cdot 2^{r}$-Ecke und die regelmäßigen ${}15\cdot 2^{r}$-Ecke für jedes ${}r$ konstruierbar sind. Wenn man die Zahl als

${}n=2^{r}3^{r_{1}}\cdots 5^{r_{2}}\cdot \,$

schreibt, so wird mit dem Lemma die Konstruierbarkeit des ${}n$-Ecks auf die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Ecks zu Prizmahlpotenzen zurückgeführt. Ein entscheidendes notwendiges Kriterium (das sich später auch als hinreichend erweist) für die Konstruierbarkeit wird im folgenden Satz formuliert.

Satz

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl derart, dass das regelmäßige ${}n$-Eck konstruierbar ist.

Dann ist ${}{\varphi (n)}$ eine Zweierpotenz.

Beweis

Die Voraussetzung besagt, dass die primitive Einheitswurzel ${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ konstruierbar ist. Dann muss nach Fakt der Grad des Minimalpolynoms von ${}\zeta$ eine Zweierpotenz sein. Nach Fakt ist das Minimalpolynom von ${}\zeta$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom, und dieses hat den Grad ${}{\varphi (n)}$. Also muss ${}{\varphi (n)}$ eine Zweierpotenz sein.

$\Box$