Krulldimension/Einführung/Textabschnitt

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Zu einen -dimensionalen Vektorraum nennt man eine Kette von Untervektorräumen

eine Fahne in . Dabei ist notwendigerweise die Dimension von gleich und die Kette ist nicht verfeinerbar, d.h. zwischen und gibt es keinen echten Untervektorraum. Von daher kann man sagen, dass die Dimension eines Vektorraumes durch die maximale Länge von Ketten von Untervektorräumen gegeben ist. Wir werden in analoger Weise die Dimension einer affinen Varietät bzw. ihres Koordinatenring und allgemeiner eines beliebigen noetherschen Ringes einführen.

Bei einer affinen Varietät

kann man nicht von Untervektorräumen sprechen. Vielmehr sind die abgeschlossenen Untervarietäten (Nullstellengebilde) von die strukturgleichen Unterobjekte. Wenn man allerdings die Gerade über einem unendlichen Körper betrachtet, so sind sämtliche endlichen Teilmengen abgeschlossen und daher gibt es beliebig lange Ketten der Form

Eine sinnvolle Dimensionstheorie lässt sich aufbauen, wenn man statt Ketten von beliebigen abgeschlossenen Teilmengen nur Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen nimmt. Man betrachtet also Ketten

von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen in . Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale gemäß Fakt. Von daher ist die folgende Definition für einen beliebigen Ring nicht mehr überraschend.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

nennt man Primidealkette der Länge (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit bezeichnet.

Unter einer maximalen Primidealkette verstehen wir eine nicht weiter verfeinerbare Primidealkette, d.h. zu gibt es kein echtes Primideal dazwischen. Eine solche maximale Primidealkette ist nicht ohne weitere Voraussetzung eine Primidealkette maximaler Länge, an lezteren kann man eben die Krulldimension ablesen. Eine jede maximale Primidealkette startet in einem minimalen Primideal und endet in einem maximalen Ideal. Bei einem Integritätsbereich ist das Nullideal das einzige minimale Primideal. Ein Körper hat die Krulldimension (seine Vektorraumdimension über ist aber ). Ein Hauptidealbereich, der kein Körper ist, besitzt die Krulldimension , siehe Aufgabe. Im Polynomring über einem Körper hat man direkt die Primidealkette

so dass die Dimension des Polynomringes zumindest ist. Es ist aber keineswegs klar, warum es nicht noch längere Ketten geben kann.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Unter der Dimension von versteht man das Supremum der Länge von Primidealketten



Lemma

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal.

Dann ist die Dimension von gleich der Dimension des Restklassenringes .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Unter der Höhe von versteht man das Supremum der Länge von Primidealketten



Lemma

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal.

Dann ist die Höhe von gleich der Dimension der Lokalisierung .

Beweis

Siehe Aufgabe.