Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 19

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme ${\mathrm{\Omega }}_{ℂ/ℝ}$.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige  ${\mathrm{\Omega }}_{L/K}=0$. 

Aufgabe

Bestimme ${\mathrm{\Omega }}_{\mathbb{Z}[\mathrm{i}]/\mathbb{Z}}$.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und

$A=R[X_1,\dots ,X_n]/(X_n-f(X_1,\dots ,X_{n-1}))$

mit einem Polynom  $f\in R[X_1,\dots ,X_{n-1}]$  (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu $f$). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$ ein freier $A$-Modul vom Rang $n-1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass zu  $R=K[X,Y]/(XY)$  der Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R/K}$ im Nullpunkt nicht frei ist.

Aufgabe *

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und  $S\subseteq A$  ein multiplikatives System. Zeige

${\mathrm{\Omega }}_{A_S/A}=0.$

Aufgabe

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und  $S\subseteq A$  ein multiplikatives System. Es sei  $A\subseteq B\subseteq A_S$  ein Zwischenring. Zeige

${\mathrm{\Omega }}_{B/A}=0.$

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung und sei  $K[X]\subseteq L[X]$  die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Zeige  ${\mathrm{\Omega }}_{L[X]/K[X]}=0$. 

Aufgabe

Interpretiere Lemma 19.3 für einen Grundkörper $K$ und einen $K$-Algebrahomomorphismus

$K[Y]⟶K[X],Y⟼F(X).$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Zeige, dass der Kern der universellen Derivation

$A⟶{\mathrm{\Omega }}_{A/R},f⟼df,$

eine $R$-Unteralgebra von $A$ ist.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Zu einem Element  $x\in M$  heißt

${\mathrm{Ann}}_R\left(x\right)=\{r\in R\mid rx=0\}$

der Annullator von $x$.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der Annullator von $M$ ist

${\mathrm{Ann}}_R\left(M\right)=\{r\in R\mid rx=0\text{ für alle }x\in M\}.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal. Zeige, dass der Annullator des $R$-Moduls $R/𝔞$ gleich $𝔞$ ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und  $I\subseteq R$  ein Ideal mit  $IM=0$.  Zeige, dass $M$ in natürlicher Weise ein $R/I$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei  $A=R[X]/𝔞$  eine monogene $R$-Algebra und es sei  $𝔟={\mathrm{Ann}}_{}\left(dX\right)$  der Annullator von $dX$ im Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$. Zeige

${\mathrm{\Omega }}_{A/R}\cong A/𝔟.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Zahl  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  gibt, die den Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}$ annulliert.

Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich mit dem Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}$. Zeige, dass der Annullator von ${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}$ von einem Element erzeugt wird, und dass die Norm eines solchen Erzeugers im Betrag mit der Diskriminante des Zahlbereiches übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $A_D$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  $D=2,3mod4$.  Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{A_D/\mathbb{Z}}$ gleich

$(a+b\sqrt{D})d\sqrt{D},a=0,1,2,\dots ,2|D|-1,b=0,1,$

sind.

Aufgabe *

Es sei $A_D$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  $D=1mod4$.  Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{A_D/\mathbb{Z}}$ (mit $A_D=\mathbb{Z}[y]/(y^2-y-\frac{D-1}{4})$ gemäß Satz 9.8) gleich

$ady,a=0,1,2,\dots ,|D|-1,$

sind.

Aufgabe

Es sei  $\mathbb{Q}\subseteq K$  eine endliche Körpererweiterung und  $\mathbb{Z}\subseteq S\subseteq K$  eine Ringerweiterung mit  $Q(S)=K$  und sei $R$ der ganze Abschluss von $S$ in $K$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

${\mathrm{\Omega }}_{S/\mathbb{Z}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}R⟶{\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}},ds\otimes r⟼rds,$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei  $D=1mod4$  eine quadratfreie Zahl $\ne 1$ und sei

$S=\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\subseteq R=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}].$

Zeige, dass in ${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}$ die Beziehung

$\frac{1+\sqrt{D}}{2}d\sqrt{D}=d\frac{1+\sqrt{D}}{2}$

gilt.

Aufgabe

Zeige anhand der Ringerweiterungen  $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]=S\subseteq \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]=R$,  dass in Lemma 19.3 die Abbildung

${\mathrm{\Omega }}_{S/\mathbb{Z}}{\otimes }_{S}R⟶{\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}},ds\otimes r⟼rds,$

nicht injektiv sein muss.

Aufgabe

Wir betrachten den Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{\mathbb{Z}[\mathrm{i}]/\mathbb{Z}}$ zum Ring der Gaußschen Zahlen. Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential

$\omega =\mathrm{i}d\mathrm{i}$

kein Element  $f\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$  mit  $df=\omega$  gibt.

Aufgabe

Es sei $A_D$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  $D=1mod4$.  Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential  $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_{A_D/\mathbb{Z}}$  ein  $f\in A_D$  mit

$df=\omega$

gibt.

Aufgabe *

Bestimme zum Zahlbereich  $\mathbb{Z}\subseteq R=\mathbb{Z}[X]/(X^3-3X+1)$  den Modul der Kähler-Differentiale und den Verzweigungsort. Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.

Aufgabe *

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und

$R_p=\mathbb{Z}[X]/(X^{p-1}+\cdots +X^2+X+1)$

der $p$-te Kreisteilungsring. Zeige, dass im Modul der Kähler-Differentiale die Gleichheit

$X^{p-2}dX=(\sum _{k=0}^{p-3}(k+1)X^k)dX$

gilt.

Aufgabe *

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl,

$R=R_p=\mathbb{Z}[X]/(X^{p-1}+\cdots +X^2+X+1)$

der $p$-te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel 19.8)

${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}\cong \mathbb{Z}/(p)[X]/(X-1{)}^{p-2}dX.$

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

$\omega =(a_{p-3}{X}^{p-3}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0)dX$

mit  $0\le a_j<p$  ein  $f\in R$  mit  $df=\omega$  gibt.

Aufgabe

Es sei  $\mathbb{Z}\subseteq R=\mathbb{Z}[X]/(X^n-a)$  eine reine Wurzelerweiterung von $\mathbb{Z}$. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}$ durch $an$ annulliert wird.

Aufgabe *

Es sei  $R_8=\mathbb{Z}[X]/(X^4+1)$  der achte Kreisteilungsring. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R_8/\mathbb{Z}}$ von $4$ annulliert wird, aber nicht von $2$. Beschreibe die Modulstruktur von ${\mathrm{\Omega }}_{R_8/\mathbb{Z}}$.

Aufgabe *

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R_9/\mathbb{Z}}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei  $R_9=\mathbb{Z}[Y]/(Y^6+Y^3+1)$  den neunten Kreisteilungsring bezeichnet.

Dabei ist Aufgabe 2.31 hilfreich.

Aufgabe *

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R_9/R_3}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei $R_n$ den $n$-ten Kreisteilungsring bezeichnet.

Aufgabe *

Studiere Lemma 19.3 am Beispiel der Kreisteilungsringe  $\mathbb{Z}\subseteq R_3\subseteq R_9$. 

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl und  $r\ge 1$.  Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R_{p^r}/R_p}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei $R_n$ den $n$-ten Kreisteilungsring bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $R_p$ der $p$-te Kreisteilungsring. Bestimme den Kern der universellen Derivation

$d:R_p⟶{\mathrm{\Omega }}_{R_p/\mathbb{Z}},f⟼df.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei  $S\subseteq R$  der Kern der universellen Derivation

$d:R⟶{\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}},f⟼df.$

Zeige, dass der Quotientenkörper von $S$ gleich $Q(R)$ ist.

Aufgabe *

Es sei

$R=A_{-15}=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-15}}{2}]$

der quadratische Zahlbereich zu $-15$ und $S$ der Zahlbereich zu $\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{-5}]$, der $R$ enthält. Zeige

${\mathrm{\Omega }}_{S/R}=0.$