Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 19

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Aufgaben

Aufgabe

Bestimme .


Aufgabe

Es sei eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige .


Aufgabe

Bestimme .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

mit einem Polynom (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ein freier -Modul vom Rang ist.


Aufgabe

Zeige, dass zu der Modul der Kähler-Differentiale im Nullpunkt nicht frei ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Es sei ein Zwischenring. Zeige


Aufgabe

Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und sei die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Zeige .


Aufgabe

Interpretiere Lemma 19.3 für einen Grundkörper und einen -Algebrahomomorphismus


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Zeige, dass der Kern der universellen Derivation

eine -Unteralgebra von ist.


Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zu einem Element heißt

der Annullator von .


Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Annullator von ist


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass der Annullator des -Moduls gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und ein Ideal mit . Zeige, dass in natürlicher Weise ein -Modul ist.


Aufgabe

Es sei eine monogene -Algebra und es sei der Annullator von im Modul der Kähler-Differentiale . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Zahl gibt, die den Modul der Kähler-Differentiale annulliert.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich mit dem Modul der Kähler-Differentiale . Zeige, dass der Annullator von von einem Element erzeugt wird, und dass die Norm eines solchen Erzeugers im Betrag mit der Diskriminante des Zahlbereiches übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl . Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale gleich

sind.


Aufgabe *

Es sei der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl . Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale (mit gemäß Satz 9.8) gleich

sind.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und eine Ringerweiterung mit und sei der ganze Abschluss von in . Zeige, dass die natürliche Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine quadratfreie Zahl und sei

Zeige, dass in die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige anhand der Ringerweiterungen , dass in Lemma 19.3 die Abbildung

nicht injektiv sein muss.


Aufgabe

Wir betrachten den Modul der Kähler-Differentiale zum Ring der Gaußschen Zahlen. Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential

kein Element mit gibt.


Aufgabe

Es sei der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl . Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential ein mit

gibt.


Aufgabe *

Bestimme zum Zahlbereich den Modul der Kähler-Differentiale und den Verzweigungsort. Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.


Aufgabe *

Es sei eine ungerade Primzahl und

der -te Kreisteilungsring. Zeige, dass im Modul der Kähler-Differentiale die Gleichheit

gilt.


Aufgabe *

Es sei eine ungerade Primzahl,

der -te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel 19.8)

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

mit ein mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine reine Wurzelerweiterung von . Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale durch annulliert wird.


Aufgabe *

Es sei der achte Kreisteilungsring. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale von annulliert wird, aber nicht von . Beschreibe die Modulstruktur von .


Aufgabe *

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei den neunten Kreisteilungsring bezeichnet.

Dabei ist Aufgabe 2.31 hilfreich.

Aufgabe *

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei den -ten Kreisteilungsring bezeichnet.


Aufgabe *

Studiere Lemma 19.3 am Beispiel der Kreisteilungsringe .


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl und . Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei den -ten Kreisteilungsring bezeichnet.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und der -te Kreisteilungsring. Bestimme den Kern der universellen Derivation


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und sei der Kern der universellen Derivation

Zeige, dass der Quotientenkörper von gleich ist.


Aufgabe *

Es sei

der quadratische Zahlbereich zu und der Zahlbereich zu , der enthält. Zeige


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