Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 19

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige  ${}\Omega _{L{|}K}=0$. 

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{n}-f{\left(X_{1},\ldots ,X_{n-1}\right)}\right)}\,$

mit einem Polynom  ${}f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$  (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ${}f$). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${}\Omega _{A{|}R}$ ein freier ${}A$- Modul vom Rang ${}n-1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass zu  ${}R=K[X,Y]/(XY)$  der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ im Nullpunkt nicht frei ist.

Aufgabe *

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und  ${}S\subseteq A$  ein multiplikatives System. Zeige

${}\Omega _{A_{S}{|}A}=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und  ${}S\subseteq A$  ein multiplikatives System. Es sei  ${}A\subseteq B\subseteq A_{S}$  ein Zwischenring. Zeige

${}\Omega _{B{|}A}=0\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung und sei  ${}K[X]\subseteq L[X]$  die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Zeige  ${}\Omega _{L[X]{|}K[X]}=0$. 

Aufgabe

Interpretiere Lemma 19.3 für einen Grundkörper ${}K$ und einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto F(X),$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Zeige, dass der Kern der universellen Derivation

$A\longrightarrow \Omega _{R{|}A},\,f\longmapsto df,$

eine ${}R$- Unteralgebra von ${}A$ ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zu einem Element  ${}x\in M$  heißt

${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,$

der Annullator von ${}x$.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Annullator von ${}M$ ist

${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0{\text{ für alle }}x\in M\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Zeige, dass der Annullator des ${}R$- Moduls ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich ${}{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal mit  ${}IM=0$.  Zeige, dass ${}M$ in natürlicher Weise ein ${}R/I$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei  ${}A=R[X]/{\mathfrak {a}}$  eine monogene ${}R$- Algebra und es sei  ${}{\mathfrak {b}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(dX\right)}$  der Annullator von ${}dX$ im Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{A{|}R}$. Zeige

${}\Omega _{A{|}R}\cong A/{\mathfrak {b}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  gibt, die den Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ annulliert.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich mit dem Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$. Zeige, dass der Annullator von ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ von einem Element erzeugt wird, und dass die Norm eines solchen Erzeugers im Betrag mit der Diskriminante des Zahlbereiches übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  ${}D=2,3\mod 4$.  Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ gleich

$(a+b{\sqrt {D}})d{\sqrt {D}},\,a=0,1,2,\ldots ,2D-1,\,b=0,1,$

sind.

Aufgabe *

Es sei ${}A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  ${}D=1\mod 4$.  Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ (mit ${}A_{D}=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\right)}$ gemäß Satz 9.8) gleich

$ady,\,a=0,1,2,\ldots ,\vert {D}\vert -1,$

sind.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  eine endliche Körpererweiterung und  ${}\mathbb {Z} \subseteq S\subseteq K$  eine Ringerweiterung mit  ${}Q(S)=K$  und sei ${}R$ der ganze Abschluss von ${}S$ in ${}K$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

$\Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei  ${}D=1\mod 4$  eine quadratfreie Zahl ${}\neq 1$ und sei

${}S=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq R=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]\,.$

Zeige, dass in ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ die Beziehung

${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}d{\sqrt {D}}=d{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige anhand der Ringerweiterungen  ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=S\subseteq \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]=R$,  dass in Lemma 19.3 die Abbildung

$\Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{S}R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,$

nicht injektiv sein muss.

Aufgabe

Wir betrachten den Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$ zum Ring der Gaußschen Zahlen. Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential

${}\omega ={\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }\,$

kein Element  ${}f\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$  mit  ${}df=\omega$  gibt.

Aufgabe

Es sei ${}A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  ${}D=1\mod 4$.  Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential  ${}\omega \in \Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$  ein  ${}f\in A_{D}$  mit

${}df=\omega \,$

gibt.

Aufgabe *

Bestimme zum Zahlbereich  ${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$  den Modul der Kähler-Differentiale und den Verzweigungsort. Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und

${}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

der ${}p$-te Kreisteilungsring. Zeige, dass im Modul der Kähler-Differentiale die Gleichheit

${}X^{p-2}dX={\left(\sum _{k=0}^{p-3}(k+1)X^{k}\right)}dX\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl,

${}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

${}R_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel 19.8)

${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(X-1)^{p-2}dX\,.$

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

${}\omega ={\left(a_{p-3}X^{p-3}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}dX\,$

mit  ${}0\leq a_{j}<p$  ein  ${}f\in R_{p}$  mit  ${}df=\omega$  gibt.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]{\left(X^{n}-a\right)}$  eine reine Wurzelerweiterung von ${}\mathbb {Z}$. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ durch ${}an$ annulliert wird.

Aufgabe *

Es sei  ${}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}$  der achte Kreisteilungsring. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }$ von ${}4$ annulliert wird, aber nicht von ${}2$. Beschreibe die Modulstruktur von ${}\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }$.

Aufgabe *

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei  ${}R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}$  den neunten Kreisteilungsring bezeichnet.

Dabei ist Aufgabe 2.31 hilfreich.

Aufgabe *

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei ${}R_{n}$ den ${}n$-ten Kreisteilungsring bezeichnet.

Aufgabe *

Studiere Lemma 19.3 am Beispiel der Kreisteilungsringe  ${}\mathbb {Z} \subseteq R_{3}\subseteq R_{9}$. 

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}r\geq 1$.  Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R_{p^{r}}{|}R_{p}}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei ${}R_{n}$ den ${}n$-ten Kreisteilungsring bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}R_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungsring. Bestimme den Kern der universellen Derivation

$d\colon R_{p}\longrightarrow \Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei  ${}S\subseteq R$  der Kern der universellen Derivation

$d\colon R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df.$

Zeige, dass der Quotientenkörper von ${}S$ gleich ${}Q(R)$ ist.

Aufgabe *

Es sei

${}R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]\,$

der quadratische Zahlbereich zu ${}-15$ und ${}S$ der Zahlbereich zu ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {-5}}]$, der ${}R$ enthält. Zeige

${}\Omega _{S{|}R}=0\,.$