Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Liste der Hauptsätze

???: Satz von Wiles (Großer Fermat)

Die diophantische Gleichung

${}x^{n}+x^{n}=z^{n}\,$

besitzt für kein ${}n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

 

???: Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 

???: Der Ring der ganzen Zahlen ist ...

Der Ring ${}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen

ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Polynomring in einer Variablen über einem Körper ist ...

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a,b\in R$ teilerfremde Elemente.

Dann kann man die ${}1$ als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$.

 

???: Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

 

???: Prim und irreduzibel (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 

???: Charakterisierung von faktoriellen Bereichen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
3. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.

 

???: Hauptidealbereich ist ...

Ein Hauptidealbereich

ist ein faktorieller Ring.

 

???: Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

 

???: Restklassencharakterisierung von irreduziblen Polynomen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, ein Polynom.

Dann ist ${}P$ genau dann irreduzibel, wenn der Restklassenring ${}K[X]/(P)$ ein Körper ist.

 

???: Universelle Eigenschaft der Nenneraufnahme

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow A$

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${}\varphi (s)$ eine Einheit in ${}A$ für alle ${}s\in S$ ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

 

???: Lokalisierung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$.

Dann ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

 

???: Durchschnitt von Lokalisierungen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$.

Dann gilt

${}R=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal }}}R_{\mathfrak {m}}\,,$

wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in ${}Q(R)$ genommen wird.

 

???: Beschreibung des Restekörpers

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal.

Dann ist der Quotientenkörper des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {p}}$ in natürlicher Weise isomorph zum Restekörper der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$.

Es ist also

${}Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,.$

 

???: Spektrumsabbildung zu Restklassenring und Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ und der Restklassenabbildung

   $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$

   ist die Spektrumsabbildung

   $q^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild ${}V({\mathfrak {a}})$ ist.

2. Zu einem multiplikativen System ${}M\subseteq R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{M}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{M}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von ${}R$, die zu ${}M$ disjunkt sind.

3. Zu ${}f\in R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{f}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine offene Einbettung, deren Bild gleich ${}D(f)$ ist.

 

???: Beschreibung der Faser

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left((S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}\right)}$.

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})=\emptyset$.

 

???: Abschätzung zwischen Ordnung der Galoisgruppe und Grad einer Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\leq \operatorname {grad} _{K}L\,.$

 

???: Hauptsatz für endliche Körper

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

 

???: Galoisgruppe zu endlichen Körpern

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}m\in \mathbb {N}$, ${}q=p^{m}$.

Dann ist die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

 

???: Charakterisierung von ganzen Elementen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$.

 

???: Normalität faktorieller Bereiche

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

 

???: Wurzeln aus Zahlen

Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann ist die reelle Zahl

$n^{\frac {1}{k}}$

irrational.

 

???: Quotientenkörper des ganzen Abschlusses

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ sei mit ${}S$ bezeichnet.

Dann ist ${}L$ der Quotientenkörper von ${}S$.

 

???: Ideal in Ganzheitsring enthält ...

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit ${}m\neq 0$.

 

???: Satz über komplexe Einbettungen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann gibt es genau ${}n$ Einbettungen von ${}L$ in die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.

 

???: Beschreibung von Spur und Norm mit komplexen Zahlen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die ${}n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei ${}z\in L$ und ${}z_{i}=\rho _{i}(z)$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann ist

$N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}\operatorname {Spur} {\left(z\right)}=z_{1}+\cdots +z_{n}.$

 

???: Transformation der Diskriminante

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}c_{1},\ldots ,c_{n}$ ${}K$- Basen von ${}L$. Der Basiswechsel werde durch ${}c=Tb$ mit der Übergangsmatrix ${}T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

 

???: Satz über die additive Struktur von Idealen in Zahlbereichen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,.$

 

???: Gruppenstruktur von Idealen in Zahlbereichen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${}{\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

 

???: Additive Struktur der Zahlbereiche

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit

${}R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

 

???: Vektorraumstruktur der Faserringe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}m\in \mathbb {Z}$. Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

${}R/(m)\cong (\mathbb {Z} /(m))^{n}\,.$

Für eine Primzahl ${}m=p$ ist ${}R/(m)$ eine Algebra der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zu jeder Primzahl ${}p$ gibt es Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$.

 

???: Struktur quadratischer Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

 

???: Restklassenring von Zahlbereich

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

 

???: Algebraische Struktur von einem Zahlbereich

Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

 

???: Charakterisierung von Einheiten in Zahlbereichen

Es sei ${}R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.

Dann ist ${}f\in R$ genau dann eine Einheit, wenn ${}N(f)=\pm 1$ ist.

 

???: Norm von Element und Norm von Ideal

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann ist der Betrag der Norm von ${}f$ gleich der Norm des Hauptideals ${}fR$.

 

???: Charakterisierungssatz für diskrete Bewertungsringe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

 

???: Lokalisierungen von Dedekindbereichen

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$.

Dann ist die Lokalisierung

$R_{\mathfrak {m}}$

ein diskreter Bewertungsring.

 

???: Ideale und effektive Divisoren

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich.

Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}{\text{ und }}D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.

Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.

 

???: Idealzerlegungssatz von Dedekind

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

 

???: Chinesischer Restsatz (Dedekindbereich)

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Dedekindbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus

${}R/{\mathfrak {a}}\cong R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

 

???: Chinesischer Restsatz (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gilt für den Restklassenring ${}R/(f)$ die kanonische Isomorphie

${}R/(f)\cong R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}})\,.$

 

???: Der chinesische Restsatz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

 

???: Multiplikativität der Norm

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\neq 0$ Ideale in ${}R$.

Dann ist

${}N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})\cdot N({\mathfrak {b}})\,.$

 

???: Korrespondenzsatz für Divisoren und gebrochene Ideale

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {f}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren. Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.

 

???: Charakterisierung von faktoriell mit Divisorenklassengruppe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und es bezeichne ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
2. ${}R$ ist faktoriell.
3. Es ist ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.

 

???: Divisorenklassengruppe bei Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und es sei ${}S\subseteq R$, ${}0\notin S$, ein multiplikatives System mit der Nenneraufnahme ${}R_{S}$.

Dann liegt eine exakter Komplex

$1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow R_{S}^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ^{({\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\}})}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R_{S}\right)}\longrightarrow 0$

vor.

Dabei ordnet die dritte Abbildung einer Einheit ${}f\in R_{S}^{\times }$ die Einschränkung des Hauptdivisors auf die angegebene Primidealmenge zu. Die vierte Abbildung ordnet einen Divisor ${}\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ auf die zugehörige Klasse in ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ zu.

 

???: Divisorenklassengruppe unter Ringhomomorphismus

Zu einer Erweiterung von Dedekindbereichen ${}R\subseteq S$

gehört in funktorieller Weise ein Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(S\right)},\,[{\mathfrak {a}}]\longmapsto [{\mathfrak {a}}S].$

 

???: Zahlbereich zu rein-kubischen Erweiterung

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide ${}1$, und sei ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})=L$ die zugehörige kubische Körpererweiterung. Wir setzen ${}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$ und ${}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}x$ und ${}y$ sind ganze Elemente in ${}L$.
2. Es ist

   $\mathbb {Z} [x,y]\cong \mathbb {Z} [X,Y]/(XY-ab,X^{2}-bY,Y^{2}-aX)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{3}-ab^{2},Y^{3}-a^{2}b,XY-ab,X^{2}-bY,Y^{2}-aX)=S\,.$

3. Wenn ${}a\neq \pm b\mod 9$ gilt, so ist ${}S$ der Ganzheitsring von ${}L$, und ${}1,x,y$ bilden eine Ganzheitsbasis.
4. Bei ${}a=\pm b\mod 9$ gehört auch ${}z={\frac {1}{3}}{\left(1+ax+by\right)}={\frac {1}{3}}{\left(1+ax+x^{2}\right)}$ zum Ganzheitsring, und ${}x,y,z$ bilden eine Ganzheitsbasis.

 

???: Diskriminante von rein-kubischen Erweiterungen

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide ${}1$, und sei ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})=L$ die zugehörige kubische Körpererweiterung mit dem Ganzheitsring ${}R$. Dann gilt für die Diskriminante von ${}R$ folgende Beschreibung.

1. Bei ${}a\neq \pm b\mod 9$ ist die Diskriminante von ${}R$ gleich ${}-27a^{2}b^{2}$.
2. Bei ${}a=\pm b\mod 9$ ist die Diskriminante von ${}R$ gleich ${}-3a^{2}b^{2}$.

 

???: Diskriminante von Kreisteilungsringen zu Primzahl

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\zeta$ eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel.

Dann ist die Diskriminante der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ des ${}p$-ten Kreisteilungskörpers gleich

${}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})=\pm p^{p-2}\,.$

 

???: Gestalt der Kreisteilungsringe

Sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel.

Dann ist der ${}n$-te Kreisteilungsring gleich ${}\mathbb {Z} [\zeta ]$.

 

???: Verzweigung und Faserring

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Es sei

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$

die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${}{\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Korollar 12.3.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}S$ genau dann verzweigt, wenn der Faserring zu ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ nicht reduziert ist.

 

???: Verzweigung und Diskriminante

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle _{R}$. Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}p$ genau dann ein Teiler von ${}\triangle _{R}$, wenn der Faserring zu ${}R$ über ${}p$ nicht reduziert ist.

 

???: Kählermodul bei Restklassendarstellung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die als

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$

gegeben sei.

Dann ist

${}\Omega _{A{|}R}=\bigoplus _{i=1}^{n}AdX_{i}/(dF_{1},\ldots ,dF_{k})\,.$

 

???: Verzweigung und Kähler-Differentiale

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist die Ringerweiterung ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ in einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann verzweigt, wenn

${}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\right)}_{\mathfrak {q}}\neq 0\,$

ist.

 

???: Fundamentale Gleichung für Dedekindbereichserweiterungen

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Primideal von ${}R$ mit der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

in ${}S$. Die Körpererweiterungen ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}}_{j})$ haben die Trägheitsgrade ${}f_{j}$.

Dann ist

${}n=\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\,.$

 

???: Galoisgruppe auf Ganzheitsring

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$.

Dann operiert die Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf ${}S$ mit Invariantenring ${}R$.

 

???: Ganzheit und Invariantenringe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist ${}R^{G}\subseteq R$ eine ganze Erweiterung.

 

???: Bahn und Faser bei Gruppenoperation

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann gilt für ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Äquivalenz: ${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})$ genau dann, wenn es ein ${}\sigma \in G$ mit ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.

Das heißt, dass die Bahnen der Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit den Fasern von ${}\iota ^{*}$ übereinstimmen.

 

???: Invariantenring und Quotient der Gruppenoperation

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)},\iota ^{*}\right)}$ der Quotient der Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

 

???: Fundamentale Gleichung im Galoisfall

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Primideal von ${}R$.

Dann stimmen in der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

die Exponenten ${}e_{i}$ überein und ebenso stimmen die Trägheitsgrade ${}f_{i}$ überein. Dabei ist

${}n=kef\,.$

 

???: Eigenschaften der Zerlegungsgruppe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau dann trivial, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ voll zerlegt ist.
2. Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau gleich ${}G$, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ unzerlegt ist.
3. Zu einem weiteren Primideal ${}{\mathfrak {q}}'$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ sind die Zerlegungsgruppen ${}G_{\mathfrak {q}}$ und ${}G_{{\mathfrak {q}}'}$ isomorph.
4. Es ist

   ${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=ef\,,$

   wobei ${}e$ der gemeinsame Verzweigungsindex und ${}f$ der gemeinsame Trägheitsgrad der Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist.

 

???: Zerlegungsgruppe und Galoisgruppe der Restekörpererweiterung

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   $G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}})).$

2. Wenn die Erweiterung der Restekörper separabel ist, so handelt es sich bereits um eine Galoiserweiterung, und der Gruppenhomomorphismus ist surjektiv.
3. Wenn ${}{\mathfrak {q}}$ zusätzlich unverzweigt ist, so liegt ein Isomorphismus vor.

 

???: Charakterisierung der Verzweigung für Kreisteilungsringe

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl ${}q$ folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}q$ ist ein Teiler von ${}n$.
2. Das Primideal ${}(q)$ verzweigt in ${}R_{n}$.
3. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.
4. Das Polynom ${}X^{n}-1$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.
5. Der Ring ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{n}-1)$ ist nicht reduziert.

 

???: Satz über die Zerlegung von Primzahlen in Kreisteilungsringen

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring und es sei ${}q$ eine Primzahl, die kein Teiler von ${}n$ sei. Es sei ${}f$ die multiplikative Ordnung von ${}q$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.

Dann liegen oberhalb von ${}(q)$ in ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{n}\right)}$ genau ${}{\frac {\varphi (n)}{f}}$ Primideale, deren Restekörper gleich ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ sind.

 

???: Quadratischer Zahlbereich in Kreisteilungsringen

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl.

Dann gilt für das Quadrat der ersten quadratischen Gaußsumme die Gleichung

${}g^{2}=(-1)^{(p-1)/2}p=\left({\frac {-1}{p}}\right)p\,.$

 

???: Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

${}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

 

???: Volumen eines Parallelotops und Determinante

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda$ auf ${}\mathbb {R} ^{n}$

${}\lambda (P)=\vert {\det \left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\vert \,,$

wobei in der Matrix die Koordinaten von ${}v_{i}$ bezüglich der Standardbasis stehen.

 

???: Gitterpunktsatz von Minkowski

Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

 

???: Zahlbereich und Gitter

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei

$\tau ^{\mathbb {R} }\colon K\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{n}$

die reelle Gesamteinbettung.

Dann ist das Bild des Ganzheitsringes von ${}K$ unter ${}\tau$ ein Gitter in ${}\mathbb {R} ^{n}$

 

???: Grundmasche und Diskriminante

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${}{\mathfrak {M}}$ eine Grundmasche des Gitters ${}\Gamma _{R}$ unter der reellen Gesamteinbettung

$\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}.$

Dann ist das Volumen der Grundmasche bezüglich der euklidischen Standardmetrik des ${}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$ gleich

${}{\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})&={\frac {1}{2^{s}}}{\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}\\\end{aligned}}$

 

???: Normschranke für Idealvertreter einer Idealklasse

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$ und mit ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Dann enthält jede Idealklasse aus der Klassengruppe ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, das die Normschranke

${}N({\mathfrak {a}})\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$

erfüllt.

 

???: Klassenzahl von Zahlbereichen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist die Divisorenklassengruppe von ${}R$ eine endliche Gruppe.

 

???: Potenz von Idealen in Zahlbereichen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$. Dann gibt es ein ${}n\geq 1$ derart, dass ${}{\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.

 

???: Faktorialitätstest für Zahlbereiche

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$ und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl ${}p$, die die Normbedingung

${}p\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$

erfüllt, ein Primfaktorzerlegung besitzt.

Dann ist ${}R$ faktoriell.

 

???: Einheitswurzeln und Kreisteilungskörper in Körper

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann enthält ${}K$ genau dann eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel, wenn für den ${}n$-ten Kreisteilungskörper ${}K_{n}\subseteq K$ gilt.

 

???: Einheitswurzeln im Kreisteilungskörper

Die Einheitswurzelgruppe des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ${}K_{n}$ ist

${}\mu _{}{\left(K_{n}\right)}=\mu _{n}\,$

bei ${}n$ gerade und

${}\mu _{}{\left(K_{n}\right)}=\mu _{2n}\,$

bei ${}n$ ungerade.

 

???: Einheitswurzeln in einem Zahlbereich

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ endlich und zyklisch.

 

???: Einheiten in imaginär-quadratischen Zahlbereichen

Es sei ${}R$ der imaginär-quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$.

Dann stimmt die Einheitengruppe ${}R^{\times }$ mit der Einheitswurzelgruppe ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ überein. Für diese gibt es die folgenden drei Möglichkeiten.

1. Bei ${}\triangle =-3$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} /(6)$.
2. Bei ${}\triangle =-4$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} /(4)$.
3. Bei ${}\triangle \leq -5$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}=\{1,-1\}\cong \mathbb {Z} /(2)$.

 

???: Dirichletscher Einheitensatz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen.

Dann ist

${}R^{\times }=\mathbb {Z} ^{r+s-1}\times \mu \,$

mit einer endlichen zyklischen Gruppe ${}\mu$.

 

???: Einheiten von quadratischen Zahlbereichen

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl und ${}R=A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.

1. Wenn ${}D$ positiv ist, so ist die Einheitengruppe isomorph zu ${}\{1,-1\}\times \mathbb {Z}$.
2. Wenn ${}D$ negativ ist, so ist die Einheitengruppe endlich.