Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 4/latex
\setcounter{section}{4}
In diesem Kurs beweisen wir zwei Versionen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in Zahlbereichen, die beide Abschwächungen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ sind. Die eine besagt, dass für einen Zahlbereich die eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen \anfuehrung{lokal}{} gilt \zusatzklammer {Satz 10.17 und Bemerkung 10.9} {} {.} Die zweite Version besagt, dass man auf der Ebene der Ideale eine eindeutige Faktorzerlegung in Primideale erhält \zusatzklammer {Satz 12.2} {} {.} Für die erste Version benötigen wir die Begriffe Nenneraufnahme, Lokalisierung und diskreter Bewertungsring.
\zwischenueberschrift{Multiplikative Systeme}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {multiplikatives System}{,} wenn die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}
gelten.
}
Es handelt sich also einfach um ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{} des multiplikativen Monoids eines Ringes. Wir erwähnen einige Beispiele von multiplikativen Systemen. Zunächst ist natürlich der Gesamtring, die Menge $\{1\}$, die Menge $\{0,1\}$ und die Einheitengruppe $R^{\times}$ ein multiplikatives System. Darüber hinaus erwähnen wir die folgenden Beispiele.
\inputbeispiel{
}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann bilden die Potenzen
\mathbed {f^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
}
\inputbeispiel{
}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Dann bilden alle von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
das mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R^*
}
{ = }{ R \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet wird.
}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
bilden ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{.}
Die $1$ ist wie jede
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ein Nichtnullteiler, und wenn
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
Nichtnullteiler sind, so ist auch deren Produkt ein Nichtnullteiler, da aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(gh)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gh
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{}
und sei $M$ eine Menge von Primelementen. Dann ist die Menge aller Elemente aus $R$, in deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primelemente aus $M$ vorkommen, ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
$S$. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ up_1^{r_1} { \cdots } p_k^{r_k} \mid u \in R^{\times} , \, p_i \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{
}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement
\mathl{R \setminus {\mathfrak p}}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
}
\zwischenueberschrift{Nenneraufnahme}
Die Idee für die Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist es, die Elemente aus $S$ zu Einheiten, zu Nennern, zu machen. Dabei soll natürlich wieder ein sinnvoller Ring entstehen. Von den rationalen Zahlen kennt man die Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ = }{ { \frac{ r' }{ s' } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r s'
}
{ = }{r' s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, wodurch dir Gleichheit von Brüchen auf die Gleicheit innerhalb der ganzen Zahlen zurückgeführt wird. Diesen Ansatz muss man wegen möglicher Nullteiler etwas modifizieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
$R \times S$ nennt man die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(r,s)
}
{ \sim} {(r',s')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{rs't
}
{ = }{r'st
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die durch das multiplikative System gegebene
\definitionswort {Überkreuzrelation}{.}
}
Wenn $S$ nur aus Nichtnullteilern besteht, so braucht man den zusätzlichen Faktor $t$ nicht.
{Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Überkreuzrelation}{}{}
auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{R \times S}{} eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{.}
Für die
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ \defeq }{ [(r,s)]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } + { \frac{ r' }{ s' } }
}
{ \defeq} { { \frac{ rs'+r's }{ ss' } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte Addition und durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } \cdot { \frac{ r' }{ s' } }
}
{ \defeq} { { \frac{ rr' }{ ss' } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte Multiplikation gegeben, derart, dass die Quotientenmenge ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.9. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Dann versteht man unter der
\definitionswort {Nenneraufnahme}{}
zu $S$ die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
zur
\definitionsverweis {Überkreuzrelation}{}{}
auf $R \times S$ mit den in
Lemma 4.8
beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit
\mathl{R_S}{} bezeichnet.
}
Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus
\maabbeledisp {} {R} {R_S
} {r} { { \frac{ r }{ 1 } }
} {.}
Die Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus dem multiplikativen System werden in $R_S$ zu Einheiten, und zwar ist $1/s$ das Inverse zu $s$. Wenn $S$ nur aus Nuchtnullteilern besteht, so ist diese kanonische Abbildung injektiv. Wenn hingegen die $0$ zu $S$ gehört, so wird die Nenneraufnahme zum Nullring.
Für die Nenneraufnahme an dem von einem Element $f$ erzeugten multiplikativen System schreibt man einfach $R_f$ statt $R_{ { \left\{ f^n \mid n \in \N \right\} } }$. Die Nenneraufnahme an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^*
}
{ = }{ R \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Integritätsbereich spielt eine besondere Rolle. Dort werden sämtliche Elemente $\neq 0$ zu Einheiten und es entsteht ein Körper.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ ist der \definitionswort {Quotientenkörper}{}
\mathl{Q(R)}{} als die Menge der formalen Brüche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
}
\inputfaktbeweis
{Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
derart, dass $\varphi(s)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $A$ für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R_S} {A
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} { \left( 1/s \right) }
}
{ = }{ (\varphi (s))^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} { \left( a/s \right) }
}
{ = }{ \varphi(a) (\varphi (s))^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.
\teilbeweis {Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ s } }
}
{ = }{ { \frac{ b }{ t } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ rta
}
{ = }{ rsb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(r) \varphi(t) \varphi(a)
}
{ =} { \varphi(r) \varphi(s) \varphi(b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und durch Multiplizieren mit der Einheit
\mathl{\varphi(r)^{-1} \varphi(t)^{-1} \varphi(s)^{-1}}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(a) (\varphi (s))^{-1}
}
{ =} { \varphi(b) (\varphi (t))^{-1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\tilde{\varphi} { \left( { \frac{ a }{ s } } + { \frac{ b }{ t } } \right) }
}
{ =} {\tilde{\varphi} { \left( { \frac{ at+ bs }{ st } } \right) }
}
{ =} { \varphi(at+bs) \varphi(st)^{-1}
}
{ =} {(\varphi(a)\varphi(t) + \varphi(s) \varphi(b) ) \varphi(s)^{-1} \varphi(t)^{-1}
}
{ =} { \varphi(a) \varphi(s)^{-1} + \varphi(b) \varphi(t)^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\tilde{\varphi} { \left( { \frac{ a }{ s } } \right) } + \tilde{\varphi} { \left( { \frac{ b }{ t } } \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Lokale Ringe und Lokalisierung}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {lokal}{}, wenn $R$ genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} besitzt.
}
Jeder Körper ist ein lokaler Ring mit dem Nullideal als eindeutigem maximalen Ideal. Ein kommutativer Ring ist genau dann lokal, wenn seine Nichteinheiten ein Ideal bilden, das dann das einzige maximale Ideal ist.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem kommutativen \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} $R$ nennt man den \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $R/ {\mathfrak m}$ zum einzigen \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ von $R$ den \definitionswort {Restekörper}{} von $R$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Dann nennt man die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R \setminus {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Lokalisierung}{} von $R$ an ${\mathfrak p}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak p}$. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak p}
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \not\in {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Für eine Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht
\mathl{\Z_{(p)}}{} aus allen rationalen Zahlen, die man ohne $p$ im Nenner schreiben kann.
Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}R_{\mathfrak p}
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in {\mathfrak p} , \, g \notin {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak p}
}
{ =} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \not\in {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir zeigen, dass das Komplement von
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{} nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
handeln muss. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ \in }{R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber nicht in
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{.} Dann sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit gehört der inverse Bruch
\mathl{{ \frac{ g }{ f } }}{} ebenfalls zur Lokalisierung.
Das Ideal
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{} ist dabei das
\definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{}
zu ${\mathfrak p}$ unter dem Ringhomomorphismus
\maabb {} {R} {R_{\mathfrak p}
} {.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \bigcap_{ {\mathfrak m} \text{ maximal } } R_{\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei der Durchschnitt über alle
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
läuft und in
\mathl{Q(R)}{} genommen wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei angenommen, $q$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$ ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{R_{\mathfrak m}
}
{ \subset }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_{\mathfrak m}
}
{ \notin }{{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{\mathfrak m}
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ a_{\mathfrak m} }{ f_{\mathfrak m} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathdisp {(f_{\mathfrak m} :\, {\mathfrak m} \text{ maximal})} { . }
Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es
nach dem Lemma von Zorn
das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale
\mathbed {{\mathfrak m}_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_1f_1 + \cdots + r_nf_n
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ = }{f_{ {\mathfrak m}_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gesetzt wurde. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{a_1}{f_1}
}
{ =} {\ldots
}
{ =} {\frac{a_n}{f_n}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { q(r_1f_1 + \cdots + r_nf_n)
}
{ =} { qr_1f_1 + \cdots + qr_nf_n
}
{ =} { a_1r_1 + \cdots + a_nr_n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gehört $q$ zu $R$.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} in natürlicher Weise
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
$R_{\mathfrak p}$.}
\faktzusatz {Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R/ {\mathfrak p} )
}
{ =} { R_{\mathfrak p} / {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R/ {\mathfrak p} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & Q(R/ {\mathfrak p} ) & \\ \downarrow & & \!\!\!\!\! \varphi \downarrow & & \downarrow \psi \!\!\!\!\! & & \\ R_{\mathfrak p} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R_{\mathfrak p} / {\mathfrak p} R_{\mathfrak p} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R_{\mathfrak p} / {\mathfrak p} R_{\mathfrak p} &\!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von Ringhomomorphismen, wobei
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {R} {R_{\mathfrak p} / {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
} {}
wird das Primideal ${\mathfrak p}$ auf $0$ abgebildet, der Ringhomomorphismus $\varphi$ ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter $\varphi$ werden Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[r]
}
{ \in }{ R/ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[r]
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die also durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nach
Lemma 4.11
eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper
\maabbdisp {\psi} {Q(R/ {\mathfrak p} )} { R_{\mathfrak p} / {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
} {.}
Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung $R_{\mathfrak p}$ durch $r/s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert wird, wird unter $\psi$ durch das Element
\mathl{[r]/[s]}{} getroffen
\zusatzklammer {beachte
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{[s]
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Der Restekörper zu einem Primideal ${\mathfrak p}$ wird mit
\mathl{\kappa ( {\mathfrak p} )}{} bezeichnet. Wenn ${\mathfrak m}$ ein maximales Ideal ist, so ist insbesondere der Restklassenkörper $R/ {\mathfrak m}$ gleich dem Restklassenkörper der Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$.