Kurs:Analysis/Teil I/20/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 2 3 4 4 4 3 4 4 5 3 4 3 2 2 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  3. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Die Sinusreihe.
  5. Die Exponentialfunktion zur Basis im Komplexen.
  6. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Produktregel für konvergente Folgen in einem angeordneten Körper.
  2. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
  3. Der Satz über die Ableitung einer Potenzreihe.


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung anhand typischer Beispiele.


Aufgabe * (2 Punkte)

Die Partei „Zukunft für alle“ hat zwei Ziele.

  1. Millionäre entschädigungslos enteignen.
  2. Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat kein Geld und hat mit Geld auch nichts am Hut, er ist jetzt gerade geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?


Aufgabe * (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige durch Induktion über , dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige die Abschätzung


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion

derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen unendlich oft differenzierbar sind.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Zu Reihen und komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

  1. Zeige, dass jedes Produkt genau zu einem beiträgt.
  2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Polynom der Form

mit . Zeige, dass sowohl in als auch in die Tangente zu beschreibt. Skizziere die Situation.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion im Nullpunkt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung