Kurs:Analysis/Teil I/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	4	4	4	3	4	4	5	3	4	3	2	2	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Der Betrag eines Elementes ${}x$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Die Sinusreihe.
5. Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$ im Komplexen.
6. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Produktregel für konvergente Folgen in einem angeordneten Körper.
2. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
3. Der Satz über die Ableitung einer Potenzreihe.

Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung anhand typischer Beispiele.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Partei „Zukunft für alle“ hat zwei Ziele.

1. Millionäre entschädigungslos enteignen.
2. Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von ${}1200$ Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat kein Geld und hat mit Geld auch nichts am Hut, er ist jetzt gerade ${}18$ geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?

Aufgabe * (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von ${}n$ hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau ${}n-1$ Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige durch Induktion über ${}k$, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige die Abschätzung

${}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\leq 3{\sqrt {n}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen ${}f\circ f,f\circ f\circ f,\ldots$ unendlich oft differenzierbar sind.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}$

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

1. Zeige, dass jedes Produkt ${}a_{i}b_{j}$ genau zu einem ${}d_{k}$ beiträgt.
2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {x^{2}-5x+7}{x^{3}}}=1\,$

eine reelle Lösung im Intervall ${}[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}f(x)=-2x^{3}+7x^{2}-3x-1\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}F$ ein Polynom der Form

${}F=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}L(x)=cx+d$ sowohl in ${}(a,F(a))$ als auch in ${}(b,F(b))$ die Tangente zu ${}F$ beschreibt. Skizziere die Situation.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 2$ zur Funktion ${}f(x)=e^{x^{3}}$ im Nullpunkt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,$

gelten, wobei ${}a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$4\sin ^{2}t\cdot \cos t-5t^{11}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${}y'={\frac {1}{t^{2}y^{3}}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}y(1)=4\,.$