Kurs:Analysis/Teil I/32/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	6	2	5	1	1	4	3	3	3	4	3	6	4	4	5	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Ein angeordneter Körper.
3. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.
4. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
5. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
6. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$.
2. Die Regel von l'Hospital.
3. Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Aufgabe (2 Punkte)

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}F(x)$	${}3$	${}5$	${}1$	${}7$	${}8$	${}2$	${}6$	${}4$

gegebene Abbildung ${}F$ von

${}M=\{1,2,\ldots ,8\}\,$

in sich selbst.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}F^{2}=F\circ F$.
2. Erstelle eine Wertetabelle für ${}F^{3}=F\circ F\circ F$.
3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen ${}F^{n}$ bijektiv sind.
4. Bestimme für jedes ${}x\in M$ das minimale ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   ist.

5. Bestimme das minimale ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   für alle ${}x\in M$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau ${}23$ Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$ ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen ${}a^{n}$ man (ausgehend von ${}a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -\left\lfloor -x\right\rfloor .$

Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere den Unterschied zwischen dem Produkt und der Hintereinanderschaltung von zwei Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

anhand typischer Beispiele. Wir ordnet sich die Kettenregel in diesen Fragekomplex ein?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\,$

gilt.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

1. Zeige, dass man mit Hilfe von Beispiel 22.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und drei Summanden (also ${}m=2$) auf dem Intervall ${}[-{\frac {5}{3}},{\frac {5}{3}}]$ eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler ${}\leq {\frac {1}{9}}$ enthält.
2. Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass

   ${}{\frac {\pi }{2}}>{\frac {4}{3}}\,$

   gilt.

3. Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass

   ${}{\frac {\pi }{2}}<{\frac {5}{3}}\,.$

   ist?

Aufgabe * (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

${}f(x)=-x^{2}+5x\,$

und die ${}x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,\pi /2]$. Skizziere die Situation.

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangwertproblems

${}y'=e^{t-y}\,$

mit

${}y(0)=5\,.$