Kurs:Analysis/Teil I/37/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	3	4	4	2	10	3	3	5	2	6	7	4	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei ${}2000$ kcal und ${}100$ Gramm Heidelbeeren enthalten ${}42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt ${}1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

${}\vert {2x-3}\vert \geq \vert {5x-7}\vert \,$

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen ${}\vert {2x-3}\vert$ und ${}\vert {5x-7}\vert$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{4}-20X^{2}+16$ ist.

Aufgabe * (10 (1+4+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion

${}f(x):={\sqrt {x}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}f$ für die Stellen ${}x=0,1,4,9$.
2. Bestimme das Polynom ${}p(x)$ kleinsten Grades, das mit ${}f$ an den Stellen ${}x=0,1,4$ übereinstimmt.
3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}f$ und zu ${}p$ und die Intervalle, für die ${}f$ oberhalb bzw. unterhalb von ${}p$ verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die ersten vier Glieder des Cauchy-Produkts der beiden Reihen

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\,{\text{ und }}\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihe (Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))).

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

gilt.

Aufgabe * (7 (1+1+3+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{-1}.$

1. Berechne die erste Ableitung von ${}f$.
2. Berechne die zweite Ableitung von ${}f$.
3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ (${}n\geq 1$).
4. Bestimme das Taylorpolynom zu ${}f$ im Punkt ${}1$ vom Grad ${}4$.
5. Bestimme die Taylorreihe zu ${}f$ im Punkt ${}1$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Parabelschar ${}x^{2}+a$ mit ${}a\in \mathbb {R}$. Für welches ${}a$ schließt die zugehörige Parabel zusammen mit der ${}x$-Achse ein Gebiet ein, dessen Flächeninhalt gleich ${}1$ ist?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine Lösung für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=3y'-4\,.$